Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf2 36352
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l = (le‘𝐾)
cdlemf1.j = (join‘𝐾)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemf2.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemf2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑈,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemf2
StepHypRef Expression
1 cdlemf1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemf1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexnle 35795 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
54adantr 472 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊)
6 cdlemf1.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
71, 6, 2, 3cdlemf1 36351 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))
8 simpr1r 1293 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ¬ 𝑝 𝑊)
9 simpr32 1347 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ¬ 𝑞 𝑊)
10 simpr33 1349 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 (𝑝 𝑞))
11 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 𝑊)
12 hllat 35153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1312ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈𝐴)
15 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1615, 2atbase 35079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
18 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ HL)
19 simpr1l 1291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑝𝐴)
20 simpr2 1236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑞𝐴)
2115, 6, 2hlatjcl 35156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2315, 3lhpbase 35787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2423ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
25 cdlemf2.m . . . . . . . . . . . . . 14 = (meet‘𝐾)
2615, 1, 25latlem12 17279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 (𝑝 𝑞) ∧ 𝑈 𝑊) ↔ 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
2713, 17, 22, 24, 26syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((𝑈 (𝑝 𝑞) ∧ 𝑈 𝑊) ↔ 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
2810, 11, 27mpbi2and 994 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊))
29 hlatl 35150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3029ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝐾 ∈ AtLat)
31 simpll 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32 simpr31 1345 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑝𝑞)
331, 6, 25, 2, 3lhpat 35832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝑞)) → ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴)
3431, 19, 8, 20, 32, 33syl122anc 1486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴)
351, 2atcmp 35101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴 ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑊) ∈ 𝐴) → (𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
3630, 14, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → (𝑈 ((𝑝 𝑞) 𝑊) ↔ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
3728, 36mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))
388, 9, 37jca31 558 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)))) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
39383exp2 1448 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) → (𝑞𝐴 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))))
40393impia 1110 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))))
4140reximdvai 3153 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → (∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑝 𝑞)) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
427, 41mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
43423expia 1115 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
4443expd 451 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (𝑝𝐴 → (¬ 𝑝 𝑊 → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))))
4544reximdvai 3153 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊))))
465, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246  Atomscatm 35053  AtLatcal 35054  HLchlt 35140  LHypclh 35773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-lhyp 35777
This theorem is referenced by:  cdlemf  36353
  Copyright terms: Public domain W3C validator