Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeiota Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemeiota 36394
Description: A translation is uniquely determined by one of its values. (Contributed by NM, 18-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemeiota (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Proof of Theorem cdlemeiota
StepHypRef Expression
1 eqidd 2762 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹𝑃) = (𝐹𝑃))
2 simp3 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
3 cdlemg1c.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
4 cdlemg1c.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemg1c.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemg1c.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6ltrnel 35947 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
873com23 1121 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
93, 4, 5, 6cdleme 36369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
108, 9syld3an3 1516 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
11 fveq1 6353 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
1211eqeq1d 2763 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ (𝐹𝑃) = (𝐹𝑃)))
1312riota2 6798 . . . 4 ((𝐹𝑇 ∧ ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) = 𝐹))
142, 10, 13syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) = 𝐹))
151, 14mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)) = 𝐹)
1615eqcomd 2767 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  ∃!wreu 3053   class class class wbr 4805  cfv 6050  crio 6775  lecple 16171  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-undef 7570  df-map 8028  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968
This theorem is referenced by:  cdlemg1cN  36396  cdlemg1cex  36397  cdlemm10N  36928
  Copyright terms: Public domain W3C validator