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Theorem cdlemeg46req 36337
Description: TODO FIX COMMENT r = (v1 g(s)) p. 116 3rd line. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemef46g.l = (le‘𝐾)
cdlemef46g.j = (join‘𝐾)
cdlemef46g.m = (meet‘𝐾)
cdlemef46g.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemef46g.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemef46g.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemef46g.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdlemefs46g.e 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdlemef46g.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
cdlemef46.v 𝑉 = ((𝑄 𝑃) 𝑊)
cdlemef46.n 𝑁 = ((𝑣 𝑉) (𝑃 ((𝑄 𝑣) 𝑊)))
cdlemefs46.o 𝑂 = ((𝑄 𝑃) (𝑁 ((𝑢 𝑣) 𝑊)))
cdlemef46.g 𝐺 = (𝑎𝐵 ↦ if((𝑄𝑃 ∧ ¬ 𝑎 𝑊), (𝑐𝐵𝑢𝐴 ((¬ 𝑢 𝑊 ∧ (𝑢 (𝑎 𝑊)) = 𝑎) → 𝑐 = (if(𝑢 (𝑄 𝑃), (𝑏𝐵𝑣𝐴 ((¬ 𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑃)) → 𝑏 = 𝑂)), 𝑢 / 𝑣𝑁) (𝑎 𝑊)))), 𝑎))
cdlemeg46.y 𝑌 = ((𝑅 (𝐺𝑆)) 𝑊)
cdlemeg46.x 𝑋 = (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46req ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 = ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝐴   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑣,𝐷   𝐺,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐻,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐   𝑂,𝑎,𝑏,𝑐   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑄,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑆,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,𝑁   𝑥,𝑂,𝑦,𝑧   𝑣,𝑡   𝑢,𝑉   𝑥,𝑣,𝑦,𝑧,𝑉   𝐷,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣   𝑡,𝑁   𝑈,𝑎,𝑏,𝑐,𝑣   𝑡,𝑉   𝑠,𝑎,𝑡,𝑏,𝑐   𝑌,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑢,𝑡)   𝑈(𝑢)   𝐸(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑣,𝑢,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑁(𝑣,𝑠)   𝑂(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑠)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑡,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑦,𝑣,𝑢,𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem cdlemeg46req
StepHypRef Expression
1 simp11l 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12l 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
3 simp13l 1373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
4 simp21 1249 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
5 cdlemef46g.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 cdlemef46g.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2760 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
85, 6, 7llni2 35319 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1480 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
10 simp1 1131 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
11 simp23 1251 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
12 cdlemef46g.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
13 cdlemef46g.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
14 cdlemef46g.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
15 cdlemef46g.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdlemef46g.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
17 cdlemef46g.d . . . . . 6 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
18 cdlemefs46g.e . . . . . 6 𝐸 = ((𝑃 𝑄) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
19 cdlemef46g.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
20 cdlemef46.v . . . . . 6 𝑉 = ((𝑄 𝑃) 𝑊)
21 cdlemef46.n . . . . . 6 𝑁 = ((𝑣 𝑉) (𝑃 ((𝑄 𝑣) 𝑊)))
22 cdlemefs46.o . . . . . 6 𝑂 = ((𝑄 𝑃) (𝑁 ((𝑢 𝑣) 𝑊)))
23 cdlemef46.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑎𝐵 ↦ if((𝑄𝑃 ∧ ¬ 𝑎 𝑊), (𝑐𝐵𝑢𝐴 ((¬ 𝑢 𝑊 ∧ (𝑢 (𝑎 𝑊)) = 𝑎) → 𝑐 = (if(𝑢 (𝑄 𝑃), (𝑏𝐵𝑣𝐴 ((¬ 𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑃)) → 𝑏 = 𝑂)), 𝑢 / 𝑣𝑁) (𝑎 𝑊)))), 𝑎))
2412, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdlemeg46fvaw 36324 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐺𝑆) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
2510, 11, 4, 24syl3anc 1477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊))
2625simpld 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐴)
27 simp11 1246 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp22 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
2912, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19cdleme46fvaw 36309 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐹𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑅) 𝑊))
3010, 28, 29syl2anc 696 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑅) 𝑊))
31 simp23l 1379 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
32 simp3l 1244 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 (𝑃 𝑄))
3312, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19cdleme46fsvlpq 36313 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝐹𝑅) (𝑃 𝑄))
3410, 4, 28, 32, 33syl121anc 1482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹𝑅) (𝑃 𝑄))
35 simp3r 1245 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
36 nbrne2 4824 . . . . 5 (((𝐹𝑅) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → (𝐹𝑅) ≠ 𝑆)
3734, 35, 36syl2anc 696 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹𝑅) ≠ 𝑆)
38 cdlemeg46.x . . . . 5 𝑋 = (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊)
3913, 5, 14, 6, 15, 38lhpat2 35852 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑅) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑅) 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ (𝐹𝑅) ≠ 𝑆)) → 𝑋𝐴)
4027, 30, 31, 37, 39syl112anc 1481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)
41 hllat 35171 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
421, 41syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
4330simpld 477 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐹𝑅) ∈ 𝐴)
4412, 5, 6hlatjcl 35174 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑅) ∈ 𝐴𝑆𝐴) → ((𝐹𝑅) 𝑆) ∈ 𝐵)
451, 43, 31, 44syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑅) 𝑆) ∈ 𝐵)
46 simp11r 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
4712, 15lhpbase 35805 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐵)
4912, 13, 14latmle2 17298 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹𝑅) 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊) 𝑊)
5042, 45, 48, 49syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (((𝐹𝑅) 𝑆) 𝑊) 𝑊)
5138, 50syl5eqbr 4839 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑋 𝑊)
5225simprd 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ (𝐺𝑆) 𝑊)
53 nbrne2 4824 . . . . 5 ((𝑋 𝑊 ∧ ¬ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑋 ≠ (𝐺𝑆))
5451, 52, 53syl2anc 696 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑋 ≠ (𝐺𝑆))
5554necomd 2987 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑆) ≠ 𝑋)
565, 6, 7llni2 35319 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑆) ≠ 𝑋) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ (LLines‘𝐾))
571, 26, 40, 55, 56syl31anc 1480 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ (LLines‘𝐾))
58 simp22l 1377 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐴)
5913, 5, 6hlatlej1 35182 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐴𝑋𝐴) → (𝐺𝑆) ((𝐺𝑆) 𝑋))
601, 26, 40, 59syl3anc 1477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝐺𝑆) ((𝐺𝑆) 𝑋))
6112, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdlemeg46nlpq 36325 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄)) → ¬ (𝐺𝑆) (𝑃 𝑄))
6210, 4, 11, 35, 61syl121anc 1482 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ¬ (𝐺𝑆) (𝑃 𝑄))
63 nbrne1 4823 . . . 4 (((𝐺𝑆) ((𝐺𝑆) 𝑋) ∧ ¬ (𝐺𝑆) (𝑃 𝑄)) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ≠ (𝑃 𝑄))
6460, 62, 63syl2anc 696 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ≠ (𝑃 𝑄))
6564necomd 2987 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ≠ ((𝐺𝑆) 𝑋))
66 cdlemeg46.y . . . 4 𝑌 = ((𝑅 (𝐺𝑆)) 𝑊)
6712, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 66, 38cdlemeg46rgv 36336 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 ((𝐺𝑆) 𝑋))
6812, 6atbase 35097 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
6958, 68syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐵)
7012, 5, 6hlatjcl 35174 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
711, 2, 3, 70syl3anc 1477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
7212, 5, 6hlatjcl 35174 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐴𝑋𝐴) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ 𝐵)
731, 26, 40, 72syl3anc 1477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ 𝐵)
7412, 13, 14latlem12 17299 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 ((𝐺𝑆) 𝑋)) ↔ 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋))))
7542, 69, 71, 73, 74syl13anc 1479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → ((𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 ((𝐺𝑆) 𝑋)) ↔ 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋))))
7632, 67, 75mpbi2and 994 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
7713, 14, 6, 72llnmeqat 35378 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ ((𝐺𝑆) 𝑋) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ 𝑅𝐴) ∧ ((𝑃 𝑄) ≠ ((𝐺𝑆) 𝑋) ∧ 𝑅 ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))) → 𝑅 = ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
781, 9, 57, 58, 65, 76, 77syl132anc 1495 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 = ((𝑃 𝑄) ((𝐺𝑆) 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  csb 3674  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  crio 6774  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  joincjn 17165  meetcmee 17166  Latclat 17266  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LLinesclln 35298  LHypclh 35791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795
This theorem is referenced by:  cdlemeg46gfr  36339
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