Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme1b 36036
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma showing 𝐹 is a lattice element. 𝐹 represents their f(r). (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l = (le‘𝐾)
cdleme1.j = (join‘𝐾)
cdleme1.m = (meet‘𝐾)
cdleme1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
cdleme1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme1b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)

Proof of Theorem cdleme1b
StepHypRef Expression
1 cdleme1.f . 2 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
2 hllat 35172 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 705 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3 1237 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 cdleme1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdleme1.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35098 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
9 cdleme1.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 cdleme1.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 cdleme1.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
12 cdleme1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdleme1.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
149, 10, 11, 6, 12, 13, 5cdleme0aa 36020 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)
15143adant3r3 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑈𝐵)
165, 10latjcl 17259 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅𝐵𝑈𝐵) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
173, 8, 15, 16syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵)
18 simpr2 1235 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
195, 6atbase 35098 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
2018, 19syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
21 simpr1 1233 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
225, 6atbase 35098 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐵)
245, 10latjcl 17259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑅𝐵) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
253, 23, 8, 24syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵)
265, 12lhpbase 35807 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2726ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑊𝐵)
285, 11latmcl 17260 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑅) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
293, 25, 27, 28syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵)
305, 10latjcl 17259 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵 ∧ ((𝑃 𝑅) 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
313, 20, 29, 30syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵)
325, 11latmcl 17260 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑈) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
333, 17, 31, 32syl3anc 1476 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) ∈ 𝐵)
341, 33syl5eqel 2854 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35797
This theorem is referenced by:  cdleme3c  36040  cdleme4a  36049  cdleme5  36050  cdleme7e  36057  cdleme11  36080  cdleme15  36088  cdleme22gb  36104  cdleme19b  36114  cdleme19e  36117  cdleme20d  36122  cdleme20j  36128  cdleme20k  36129  cdleme20l2  36131  cdleme20l  36132  cdleme20m  36133  cdleme22e  36154  cdleme22eALTN  36155  cdleme22f  36156  cdleme27cl  36176  cdlemefr27cl  36213  cdleme35fnpq  36259
  Copyright terms: Public domain W3C validator