Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme11a 36062
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 36072. (Contributed by NM, 12-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l = (le‘𝐾)
cdleme11.j = (join‘𝐾)
cdleme11.m = (meet‘𝐾)
cdleme11.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme11a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇))

Proof of Theorem cdleme11a
StepHypRef Expression
1 simp3rr 1312 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈 (𝑆 𝑇))
2 simp1l 1238 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp1 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp2l 1240 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simp2r 1241 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑄𝐴𝑃𝑄))
6 cdleme11.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 cdleme11.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme11.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
9 cdleme11.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 cdleme11.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdleme11.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
126, 7, 8, 9, 10, 11lhpat2 35846 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
133, 4, 5, 12syl3anc 1475 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈𝐴)
14 simp3rl 1311 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑇𝐴)
15 simp3ll 1309 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑆𝐴)
16 simp2ll 1305 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑃𝐴)
17 simp2rl 1307 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑄𝐴)
18 simp3l 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
196, 7, 8, 9, 10, 11cdleme0c 36015 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑈𝑆)
203, 16, 17, 18, 19syl121anc 1480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈𝑆)
216, 7, 9hlatexchb1 35194 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴𝑇𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 (𝑆 𝑇) ↔ (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇)))
222, 13, 14, 15, 20, 21syl131anc 1488 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑈 (𝑆 𝑇) ↔ (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇)))
231, 22mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  Atomscatm 35065  HLchlt 35152  LHypclh 35785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-lhyp 35789
This theorem is referenced by:  cdleme11c  36063
  Copyright terms: Public domain W3C validator