Theorem cdj3lem3 29598

Description: Lemma for cdj3i 29601. Value of the second-component function 𝑇. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdj3lem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
cdj3lem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
cdj3lem3.3	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))

Assertion

Ref	Expression
cdj3lem3	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧,𝑤   𝑥,𝐶,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem cdj3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3940	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ 𝐴)
2	1	eqeq1i 2757	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
3		cdj3lem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
4	3	sheli 28372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ ℋ)
5		cdj3lem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
6	5	sheli 28372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℋ)
7		ax-hvcom 28159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐷 +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
8	4, 6, 7	syl2an 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐷 +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
9	8	fveq2d 6348	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)))
10	9	3adant3 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)))
11		cdj3lem3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
12	3, 5	shscomi 28523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐴) = (𝐴 +ℋ 𝐵)
13	3	sheli 28372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
14	5	sheli 28372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
15		ax-hvcom 28159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
16	13, 14, 15	syl2an 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑤))
17	16	eqeq2d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
18	17	rexbidva 3179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
19	18	riotabiia 6783	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧)) = (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
20	12, 19	mpteq12i 4886	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
21	11, 20	eqtr4i 2777	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↦ (℩𝑤 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑤 +ℎ 𝑧)))
22	3, 5, 21	cdj3lem2 29595	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐷 +ℎ 𝐶)) = 𝐷)
23	10, 22	eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)
24	2, 23	syl3an3b 1508	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)
25	24	3com12 1117	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = 0ℋ) → (𝑇‘(𝐶 +ℎ 𝐷)) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∃wrex 3043   ∩ cin 3706   ↦ cmpt 4873  ‘cfv 6041  ℩crio 6765  (class class class)co 6805   ℋchil 28077   +_ℎ cva 28078   S_ℋ csh 28086   +_ℋ cph 28089  0_ℋc0h 28093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-grpo 27648  df-ablo 27700  df-hvsub 28129  df-sh 28365  df-ch0 28411  df-shs 28468

This theorem is referenced by:  cdj3lem3a  29599  cdj3i  29601