Theorem cdaxpdom 9223

Description: Cartesian product dominates disjoint union for sets with cardinality greater than 1. Similar to Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cdaxpdom	⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem cdaxpdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8130	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5316	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3	1	brrelex2i 5316	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
4		cdaval 9204	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
5	2, 3, 4	syl2an 495	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
6		0ex 4942	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
7		xpsneng 8212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
8	2, 6, 7	sylancl 697	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
9		sdomen2 8272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → (1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}) ↔ 1𝑜 ≺ 𝐴))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}) ↔ 1𝑜 ≺ 𝐴))
11	10	ibir 257	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → 1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}))
12		1on 7737	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
13		xpsneng 8212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
14	3, 12, 13	sylancl 697	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐵 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
15		sdomen2 8272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵 → (1𝑜 ≺ (𝐵 × {1𝑜}) ↔ 1𝑜 ≺ 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐵 → (1𝑜 ≺ (𝐵 × {1𝑜}) ↔ 1𝑜 ≺ 𝐵))
17	16	ibir 257	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐵 → 1𝑜 ≺ (𝐵 × {1𝑜}))
18		unxpdom 8334	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ (𝐴 × {∅}) ∧ 1𝑜 ≺ (𝐵 × {1𝑜})) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≼ ((𝐴 × {∅}) × (𝐵 × {1𝑜})))
19	11, 17, 18	syl2an 495	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 𝐵) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≼ ((𝐴 × {∅}) × (𝐵 × {1𝑜})))
20	5, 19	eqbrtrd 4826	. 2 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) × (𝐵 × {1𝑜})))
21		xpen 8290	. . 3 ⊢ (((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) → ((𝐴 × {∅}) × (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴 × 𝐵))
22	8, 14, 21	syl2an 495	. 2 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 𝐵) → ((𝐴 × {∅}) × (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴 × 𝐵))
23		domentr 8182	. 2 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) × (𝐵 × {1𝑜})) ∧ ((𝐴 × {∅}) × (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))
24	20, 22, 23	syl2anc 696	1 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∪ cun 3713  ∅c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  Oncon0 5884  (class class class)co 6814  1_𝑜c1o 7723   ≈ cen 8120   ≼ cdom 8121   ≺ csdm 8122   +_𝑐 ccda 9201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-cda 9202

This theorem is referenced by:  canthp1lem1  9686