Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdaun 9195
 Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
cdaun ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cdaun
StepHypRef Expression
1 cdaval 9193 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
213adant3 1125 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
3 0ex 4921 . . . . . 6 ∅ ∈ V
4 xpsneng 8200 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
53, 4mpan2 663 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6 1on 7719 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
7 xpsneng 8200 . . . . . 6 ((𝐵𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
86, 7mpan2 663 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
95, 8anim12i 592 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵))
10 xp01disj 7729 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
1110jctl 507 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅))
12 unen 8195 . . . 4 ((((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) ∧ (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴𝐵))
139, 11, 12syl2an 575 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴𝐵))
14133impa 1099 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴𝐵))
152, 14eqbrtrd 4806 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ∪ cun 3719   ∩ cin 3720  ∅c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784   × cxp 5247  Oncon0 5866  (class class class)co 6792  1𝑜c1o 7705   ≈ cen 8105   +𝑐 ccda 9190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1o 7712  df-en 8109  df-cda 9191 This theorem is referenced by:  cdaenun  9197  cda0en  9202  ficardun  9225  ackbij1lem9  9251  canthp1lem1  9675
 Copyright terms: Public domain W3C validator