Theorem cdaun 9195

Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cdaun	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem cdaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdaval 9193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
2	1	3adant3 1125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
3		0ex 4921	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
4		xpsneng 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
5	3, 4	mpan2 663	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6		1on 7719	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ On
7		xpsneng 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
8	6, 7	mpan2 663	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
9	5, 8	anim12i 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵))
10		xp01disj 7729	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
11	10	jctl 507	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
12		unen 8195	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) ∧ (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
13	9, 11, 12	syl2an 575	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
14	13	3impa 1099	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))
15	2, 14	eqbrtrd 4806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ∪ cun 3719   ∩ cin 3720  ∅c0 4061  {csn 4314   class class class wbr 4784   × cxp 5247  Oncon0 5866  (class class class)co 6792  1_𝑜c1o 7705   ≈ cen 8105   +_𝑐 ccda 9190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1o 7712  df-en 8109  df-cda 9191

This theorem is referenced by:  cdaenun  9197  cda0en  9202  ficardun  9225  ackbij1lem9  9251  canthp1lem1  9675