Theorem cdanum 9221

Description: The cardinal sum of two numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cdanum	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ dom card)

Proof of Theorem cdanum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 8968	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		cardon 8968	. . 3 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
3		oacl 7767	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ∈ On)
4	1, 2, 3	mp2an 707	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ∈ On
5		cardacda 9220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)))
6	5	ensymd 8158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
7		isnumi 8970	. 2 ⊢ ((((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ∈ On ∧ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ dom card)
8	4, 6, 7	sylancr 695	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2143   class class class wbr 4783  dom cdm 5248  Oncon0 5865  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791   +_𝑜 coa 7708   ≈ cen 8104  cardccrd 8959   +_𝑐 ccda 9189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-card 8963  df-cda 9190

This theorem is referenced by:  unnum  9222