Theorem cdalepw 9230

Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cdalepw	⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem cdalepw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6821	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 +𝑐 𝐵) = (∅ +𝑐 𝐵))
2	1	breq1d 4814	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3		relen 8128	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6		canth2g 8281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7		sdomdom 8151	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10		cdadom1 9220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
11		cdadom2 9221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12		domtr 8176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13	10, 11, 12	syl2an 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
14	8, 9, 13	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
15		pwcda1 9228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
17		domentr 8182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
18	14, 16, 17	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
19	18	adantr 472	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
20		0sdomg 8256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
22	21	biimpar 503	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
23		0sdom1dom 8325	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜 ≼ 𝐴)
24	22, 23	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1𝑜 ≼ 𝐴)
25		cdadom2 9221	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
27		simpll 807	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
28		domentr 8182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
29	26, 27, 28	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
30		pwdom 8279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
32		domtr 8176	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
33	19, 31, 32	syl2anc 696	. 2 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
34		cdacomen 9215	. . 3 ⊢ (∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅)
35		reldom 8129	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
36	35	brrelexi 5315	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
37	36	adantl 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
38		cda0en 9213	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵)
39		domen1 8269	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
40	37, 38, 39	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
41	9, 40	mpbird 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
42		endomtr 8181	. . 3 ⊢ (((∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅) ∧ (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
43	34, 41, 42	sylancr 698	. 2 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
44	2, 33, 43	pm2.61ne 3017	1 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  1_𝑜c1o 7723   ≈ cen 8120   ≼ cdom 8121   ≺ csdm 8122   +_𝑐 ccda 9201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-cda 9202

This theorem is referenced by:  gchdomtri  9663