MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdalepw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdalepw 9230
Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdalepw (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem cdalepw
StepHypRef Expression
1 oveq1 6821 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 +𝑐 𝐵) = (∅ +𝑐 𝐵))
21breq1d 4814 . 2 (𝐴 = ∅ → ((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3 relen 8128 . . . . . . . . 9 Rel ≈
43brrelex2i 5316 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ∈ V)
54adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6 canth2g 8281 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7 sdomdom 8151 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9 simpr 479 . . . . . 6 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10 cdadom1 9220 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
11 cdadom2 9221 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12 domtr 8176 . . . . . . 7 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
1310, 11, 12syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
148, 9, 13syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
15 pwcda1 9228 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
165, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
17 domentr 8182 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1814, 16, 17syl2anc 696 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
1918adantr 472 . . 3 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
20 0sdomg 8256 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
215, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2221biimpar 503 . . . . . . 7 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
23 0sdom1dom 8325 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
2422, 23sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1𝑜𝐴)
25 cdadom2 9221 . . . . . 6 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
27 simpll 807 . . . . 5 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
28 domentr 8182 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
2926, 27, 28syl2anc 696 . . . 4 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
30 pwdom 8279 . . . 4 ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
3129, 30syl 17 . . 3 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
32 domtr 8176 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
3319, 31, 32syl2anc 696 . 2 ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
34 cdacomen 9215 . . 3 (∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅)
35 reldom 8129 . . . . . . 7 Rel ≼
3635brrelexi 5315 . . . . . 6 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V)
3736adantl 473 . . . . 5 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
38 cda0en 9213 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵)
39 domen1 8269 . . . . 5 ((𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
4037, 38, 393syl 18 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
419, 40mpbird 247 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
42 endomtr 8181 . . 3 (((∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅) ∧ (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
4334, 41, 42sylancr 698 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
442, 33, 43pm2.61ne 3017 1 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  c0 4058  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723  cen 8120  cdom 8121  csdm 8122   +𝑐 ccda 9201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-cda 9202
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9663
  Copyright terms: Public domain W3C validator