Theorem cdafi 9050

Description: The cardinal sum of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cdafi	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem cdafi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8004	. . . 4 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelexi 5192	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
3	1	brrelexi 5192	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
4		cdaval 9030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
5	2, 3, 4	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
6		0elon 5816	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
7		xpsneng 8086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
8	2, 6, 7	sylancl 695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
9		sdomen1 8145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → ((𝐴 × {∅}) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 × {∅}) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
11	10	ibir 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (𝐴 × {∅}) ≺ ω)
12		1on 7612	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ On
13		xpsneng 8086	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
14	3, 12, 13	sylancl 695	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
15		sdomen1 8145	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵 → ((𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ((𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
17	16	ibir 257	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω)
18		unfi2 8270	. . 3 ⊢ (((𝐴 × {∅}) ≺ ω ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≺ ω) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≺ ω)
19	11, 17, 18	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) ≺ ω)
20	5, 19	eqbrtrd 4707	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  Oncon0 5761  (class class class)co 6690  ωcom 7107  1_𝑜c1o 7598   ≈ cen 7994   ≺ csdm 7996   +_𝑐 ccda 9027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-cda 9028

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9513