MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdadom3 9223
Description: A set is dominated by its cardinal sum with another. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem cdadom3
StepHypRef Expression
1 unexg 7126 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
2 ssun1 3920 . . 3 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
3 ssdomg 8170 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
41, 2, 3mpisyl 21 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
5 uncdadom 9206 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
6 domtr 8177 . 2 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
74, 5, 6syl2anc 696 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2140  Vcvv 3341  cun 3714  wss 3716   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  cdom 8122   +𝑐 ccda 9202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-ord 5888  df-on 5889  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1o 7731  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-cda 9203
This theorem is referenced by:  cdainf  9227  infcda1  9228  infcdaabs  9241  isfin4-3  9350  isfin5-2  9426  gchdomtri  9664  gchcda1  9691  pwxpndom  9701  gchcdaidm  9703  gchpwdom  9705  gchhar  9714
  Copyright terms: Public domain W3C validator