Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatw2s1p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatw2s1p1 13621
 Description: Extract the symbol of the first singleton word of a word concatenated with this singleton word and another singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatw2s1p1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Proof of Theorem ccatw2s1p1
StepHypRef Expression
1 ccatws1cl 13596 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
21ad2ant2r 741 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
3 simpr 471 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
43adantl 467 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
5 lencl 13520 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 fzonn0p1 12753 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
87ad2antrr 705 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
9 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
109eqcomd 2777 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
1110adantr 466 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
12 ccatws1len 13600 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
1312ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
1413oveq2d 6812 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
158, 11, 143eltr4d 2865 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
16 ccats1val1 13609 . . 3 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
172, 4, 15, 16syl3anc 1476 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
18 simpl 468 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1918adantr 466 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
20 simpl 468 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
2120adantl 467 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
22 eqcom 2778 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (♯‘𝑊))
2322biimpi 206 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (♯‘𝑊))
2423adantl 467 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
2524adantr 466 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
26 ccats1val2 13610 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2719, 21, 25, 26syl3anc 1476 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2817, 27eqtrd 2805 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  ℕ0cn0 11499  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498 This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem2  27284  numclwwlk1lem2foalem  27537
 Copyright terms: Public domain W3C validator