MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatval2 13471
Description: Value of a symbol in the right half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatval2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))

Proof of Theorem ccatval2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 13466 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
213adant3 1124 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
3 eleq1 2791 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
4 fveq2 6304 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐼))
5 oveq1 6772 . . . . 5 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 − (♯‘𝑆)) = (𝐼 − (♯‘𝑆)))
65fveq2d 6308 . . . 4 (𝑥 = 𝐼 → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
73, 4, 6ifbieq12d 4221 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))))
8 fzodisj 12617 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ∅
9 minel 4141 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((0..^(♯‘𝑆)) ∩ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ∅) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
108, 9mpan2 709 . . . . 5 (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11103ad2ant3 1127 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
1211iffalsed 4205 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
137, 12sylan9eqr 2780 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
14 wrdfin 13430 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆 ∈ Fin)
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Fin)
16 hashcl 13260 . . . . 5 (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
17 fzoss1 12610 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
18 nn0uz 11836 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
1917, 18eleq2s 2821 . . . . 5 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2015, 16, 193syl 18 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
2120sseld 3708 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
22213impia 1109 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
23 fvexd 6316 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))) ∈ V)
242, 13, 22, 23fvmptd 6402 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝐼 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  cin 3679  wss 3680  c0 4023  ifcif 4194  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  0cc0 10049   + caddc 10052  cmin 10379  0cn0 11405  cuz 11800  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398   ++ cconcat 13400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-concat 13408
This theorem is referenced by:  ccatval3  13472  ccatsymb  13475  ccatval21sw  13478  ccatlid  13479  ccatass  13481  ccatrn  13482  lswccatn0lsw  13484  ccats1val2  13522  ccat2s1p2  13525  ccatswrd  13577  swrdccatin12lem2  13610  swrdccatin12  13612  revccat  13636  cshwidxmod  13670  clwwlkccatlem  27033  ccatpfx  41836  pfxccatin12lem2  41851  pfxccatin12  41852
  Copyright terms: Public domain W3C validator