MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1swrdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1swrdeq 13669
Description: The last symbol of a word concatenated with the subword of the word having length less by 1 than the word results in the word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccats1swrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1swrdeq
StepHypRef Expression
1 oveq1 6820 . . . 4 (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
21adantl 473 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3 oveq1 6820 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → ((♯‘𝑈) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
433ad2ant3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((♯‘𝑈) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
5 lencl 13510 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 nn0cn 11494 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7 pncan1 10646 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
983ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
104, 9eqtr2d 2795 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = ((♯‘𝑈) − 1))
1110opeq2d 4560 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ⟨0, (♯‘𝑊)⟩ = ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩)
1211oveq2d 6829 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩))
1312oveq1d 6828 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
14 simp2 1132 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
15 nn0p1gt0 11514 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
165, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
17163ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
18 breq2 4808 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
19183ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
2017, 19mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
21 hashneq0 13347 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
22213ad2ant2 1129 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2320, 22mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
24 swrdccatwrd 13668 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → ((𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2514, 23, 24syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2613, 25eqtrd 2794 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
2726adantr 472 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
282, 27eqtr2d 2795 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
2928ex 449 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058  cop 4327   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cmin 10458  0cn0 11484  chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480   substr csubstr 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489
This theorem is referenced by:  ccats1swrdeqrex  13678  ccats1swrdeqbi  13698
  Copyright terms: Public domain W3C validator