Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccats1pfxeqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1pfxeqrex 41950
Description: There exists a symbol such that its concatenation with the prefix obtained by deleting the last symbol of a nonempty word results in the word itself. Could replace ccats1swrdeqrex 13698. (Contributed by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeqrex ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))
Distinct variable groups:   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠

Proof of Theorem ccats1pfxeqrex
StepHypRef Expression
1 simp2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
2 lencl 13530 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
323ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4 nn0p1nn 11544 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5 nngt0 11261 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
63, 4, 53syl 18 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
7 breq2 4808 . . . . . 6 ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
873ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
96, 8mpbird 247 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
10 hashgt0n0 13368 . . . 4 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
111, 9, 10syl2anc 696 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
12 lswcl 13562 . . 3 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
131, 11, 12syl2anc 696 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
14 ccats1pfxeq 41949 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
15 s1eq 13590 . . . . 5 (𝑠 = (lastS‘𝑈) → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
1615oveq2d 6830 . . . 4 (𝑠 = (lastS‘𝑈) → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
1716eqeq2d 2770 . . 3 (𝑠 = (lastS‘𝑈) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
1817rspcev 3449 . 2 (((lastS‘𝑈) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩))
1913, 14, 18syl6an 569 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286  cn 11232  0cn0 11504  chash 13331  Word cword 13497  lastSclsw 13498   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500   prefix cpfx 41909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-substr 13509  df-pfx 41910
This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1lem  41961
  Copyright terms: Public domain W3C validator