MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatfval 13555
Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatfval ((𝑆𝑉𝑇𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ccatfval
Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3364 . 2 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
2 elex 3364 . 2 (𝑇𝑊𝑇 ∈ V)
3 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
4 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
53, 4oveqan12d 6812 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
65oveq2d 6809 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
73oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
87eleq2d 2836 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
98adantr 466 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
10 fveq1 6331 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑥) = (𝑆𝑥))
1110adantr 466 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑠𝑥) = (𝑆𝑥))
12 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → 𝑡 = 𝑇)
133oveq2d 6809 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
1413adantr 466 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
1512, 14fveq12d 6338 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
169, 11, 15ifbieq12d 4252 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
176, 16mpteq12dv 4867 . . 3 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
18 df-concat 13497 . . 3 ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
19 ovex 6823 . . . 4 (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ V
2019mptex 6630 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V
2117, 18, 20ovmpt2a 6938 . 2 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
221, 2, 21syl2an 583 1 ((𝑆𝑉𝑇𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  ifcif 4225  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138   + caddc 10141  cmin 10468  ..^cfzo 12673  chash 13321   ++ cconcat 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-concat 13497
This theorem is referenced by:  ccatcl  13556  ccatlen  13557  ccatval1  13559  ccatval2  13560  ccatvalfn  13563  ccatalpha  13575  repswccat  13741  ccatco  13790  ofccat  13918  ccatmulgnn0dir  30959
  Copyright terms: Public domain W3C validator