MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatco 13627
Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatco ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))

Proof of Theorem ccatco
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lenco 13624 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑆)) = (#‘𝑆))
213adant2 1100 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑆)) = (#‘𝑆))
3 lenco 13624 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑇)) = (#‘𝑇))
433adant1 1099 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑇)) = (#‘𝑇))
52, 4oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇))) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
65oveq2d 6706 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) = (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
76mpteq1d 4771 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
82oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘(𝐹𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
98adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (0..^(#‘(𝐹𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
109eleq2d 2716 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
1110ifbid 4141 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))))
12 wrdf 13342 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
13123ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
15 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
17 fvco2 6312 . . . . . . . 8 ((𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
1816, 17sylan 487 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
19 iftrue 4125 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
2118, 20eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
22 wrdf 13342 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
23223ad2ant2 1103 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
2423ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴)
25 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐴𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
27 lencl 13356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
29283ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
30 fzospliti 12539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3130ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3229, 31sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))))
3332orcanai 972 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
34 lencl 13356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
3534nn0zd 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
36353ad2ant2 1103 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
3736ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
38 fzosubel3 12568 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
3933, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
40 fvco2 6312 . . . . . . . 8 ((𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4126, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
422oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))) = (𝑥 − (#‘𝑆)))
4342fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
4443ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘𝑆))))
45 iffalse 4128 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4645adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
4741, 44, 463eqtr4d 2695 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
4821, 47ifeqda 4154 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
4911, 48eqtrd 2685 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
5049mpteq2dva 4777 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))))
517, 50eqtr2d 2686 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
5214ffvelrnda 6399 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ 𝐴)
5324, 39ffvelrnd 6400 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ 𝐴)
5452, 53ifclda 4153 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) ∈ 𝐴)
55 ccatfval 13391 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
56553adant3 1101 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
57 simp3 1083 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
5857feqmptd 6288 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
59 fveq2 6229 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
60 fvif 6242 . . . 4 (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
6159, 60syl6eq 2701 . . 3 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
6254, 56, 58, 61fmptco 6436 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))))
63 ffun 6086 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
64633ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → Fun 𝐹)
65 simp1 1081 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
66 cofunexg 7172 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑆 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑆) ∈ V)
6764, 65, 66syl2anc 694 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑆) ∈ V)
68 simp2 1082 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
69 cofunexg 7172 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑇) ∈ V)
7064, 68, 69syl2anc 694 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑇) ∈ V)
71 ccatfval 13391 . . 3 (((𝐹𝑆) ∈ V ∧ (𝐹𝑇) ∈ V) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
7267, 70, 71syl2anc 694 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝐹𝑆)) + (#‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (#‘(𝐹𝑆)))))))
7351, 62, 723eqtr4d 2695 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  ifcif 4119  cmpt 4762  ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  cz 11415  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333
This theorem is referenced by:  cats1co  13647  frmdgsum  17446  frmdup1  17448  efginvrel2  18186  frgpuplem  18231  frgpup1  18234  mrsubccat  31541
  Copyright terms: Public domain W3C validator