MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatass 13560
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13546 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2 ccatcl 13546 . . . . 5 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
31, 2stoic3 1850 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
4 wrdf 13496 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈):(0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)))⟶𝐵)
5 ffn 6206 . . . 4 (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈):(0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)))⟶𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
63, 4, 53syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))))
7 ccatlen 13547 . . . . . . 7 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))
81, 7stoic3 1850 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))
9 ccatlen 13547 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
1093adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
1110oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
128, 11eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
1312oveq2d 6829 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) = (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
1413fneq2d 6143 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
156, 14mpbid 222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
16 simp1 1131 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
17 ccatcl 13546 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
18173adant1 1125 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
19 ccatcl 13546 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
2016, 18, 19syl2anc 696 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵)
21 wrdf 13496 . . . 4 ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) ∈ Word 𝐵 → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)):(0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))))⟶𝐵)
22 ffn 6206 . . . 4 ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)):(0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))))⟶𝐵 → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
2320, 21, 223syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))))
24 ccatlen 13547 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))
25243adant1 1125 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)) = ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))
2625oveq2d 6829 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
27 ccatlen 13547 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))
2816, 18, 27syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))
29 lencl 13510 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
30293ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11545 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
32 lencl 13510 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
33323ad2ant2 1129 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 11545 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
35 lencl 13510 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
36353ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
3736nn0cnd 11545 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℂ)
3831, 34, 37addassd 10254 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) = ((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
3926, 28, 383eqtr4d 2804 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
4039oveq2d 6829 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) = (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
4140fneq2d 6143 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(♯‘(𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))) ↔ (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
4223, 41mpbid 222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)) Fn (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
4330nn0zd 11672 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
44 fzospliti 12694 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
4544ancoms 468 . . . 4 (((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
4643, 45sylan 489 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
47 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
48 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
49 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
50 ccatval1 13549 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
5213adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
5352adantr 472 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
54 simpl3 1232 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
55 uzid 11894 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) ∈ ℤ → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
5643, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
57 uzaddcl 11937 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
5856, 33, 57syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)))
59 fzoss2 12690 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
6110oveq2d 6829 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
6260, 61sseqtr4d 3783 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘𝑆)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
6362sselda 3744 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
64 ccatval1 13549 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
6553, 54, 63, 64syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
6618adantr 472 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
67 ccatval1 13549 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6847, 66, 49, 67syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = (𝑆𝑥))
6951, 65, 683eqtr4d 2804 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
7033nn0zd 11672 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
7143, 70zaddcld 11678 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
72 fzospliti 12694 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
7372ancoms 468 . . . . . 6 ((((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
7471, 73sylan 489 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
75 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
76 simpl2 1230 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
77 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
78 ccatval2 13550 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
80 simpl3 1232 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
81 fzosubel3 12723 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
8281ancoms 468 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
8370, 82sylan 489 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
84 ccatval1 13549 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
8576, 80, 83, 84syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
8679, 85eqtr4d 2797 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
8752adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
88 fzoss1 12689 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
89 nn0uz 11915 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
9088, 89eleq2s 2857 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
9130, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
9291, 61sseqtr4d 3783 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
9392sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
9487, 80, 93, 64syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝑥))
9518adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
96 uzid 11894 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
9771, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
98 uzaddcl 11937 . . . . . . . . . . . 12 ((((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
9997, 36, 98syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
100 fzoss2 12690 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
10226, 38eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))
103102oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))) = ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
104101, 103sseqtr4d 3783 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
105104sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
106 ccatval2 13550 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈))))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
10775, 95, 105, 106syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
10886, 94, 1073eqtr4d 2804 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
10910oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
110109adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
111 elfzoelz 12664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℤ)
112111zcnd 11675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) → 𝑥 ∈ ℂ)
113112adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11431adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
11534adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
116113, 114, 115subsub4d 10615 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)) = (𝑥 − ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
117110, 116eqtr4d 2797 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇)))
118117fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
119 simpl2 1230 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐵)
120 simpl3 1232 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑈 ∈ Word 𝐵)
12138oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))))
122121eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))))
123122biimpa 502 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))))
12443adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
12570adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
12636nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑈) ∈ ℤ)
12770, 126zaddcld 11678 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ)
128127adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ)
129 fzosubel2 12722 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^((♯‘𝑆) + ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
130123, 124, 125, 128, 129syl13anc 1479 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈))))
131 ccatval2 13550 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ ((♯‘𝑇)..^((♯‘𝑇) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
132119, 120, 130, 131syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑈‘((𝑥 − (♯‘𝑆)) − (♯‘𝑇))))
133118, 132eqtr4d 2797 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
13452adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
13510, 11oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
136135eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))) ↔ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))))
137136biimpar 503 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈))))
138 ccatval2 13550 . . . . . . . 8 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇))..^((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
139134, 120, 137, 138syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = (𝑈‘(𝑥 − (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
140 simpl1 1228 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
14118adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (𝑇 ++ 𝑈) ∈ Word 𝐵)
142 fzoss1 12689 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑆)) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
14358, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))
144143, 103sseqtr4d 3783 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))) ⊆ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
145144sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘(𝑇 ++ 𝑈)))))
146140, 141, 145, 106syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥) = ((𝑇 ++ 𝑈)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
147133, 139, 1463eqtr4d 2804 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
148108, 147jaodan 861 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∨ 𝑥 ∈ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
14974, 148syldan 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
15069, 149jaodan 861 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈))))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
15146, 150syldan 488 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) + (♯‘𝑈)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈)‘𝑥) = ((𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈))‘𝑥))
15215, 42, 151eqfnfvd 6477 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵𝑈 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ++ 𝑈) = (𝑆 ++ (𝑇 ++ 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128   + caddc 10131  cmin 10458  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487
This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  13605  cats1cat  13806  cats2cat  13807  frmdmnd  17597  efginvrel2  18340  efgredleme  18356  efgredlemc  18358  efgcpbllemb  18368  numclwlk1lem2foalem  27510  numclwlk1lem2fo  27517  signstfvc  30960
  Copyright terms: Public domain W3C validator