MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat1st1st Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat1st1st 13622
Description: The first symbol of a word concatenated with its first symbol is the first symbol of the word. This theorem holds even if 𝑊 is the empty word. (Contributed by AV, 26-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccat1st1st (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem ccat1st1st
StepHypRef Expression
1 hasheq0 13366 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
21biimpac 504 . . 3 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 = ∅)
3 s1cli 13595 . . . . . . 7 ⟨“∅”⟩ ∈ Word V
4 ccatlid 13578 . . . . . . 7 (⟨“∅”⟩ ∈ Word V → (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ++ ⟨“∅”⟩) = ⟨“∅”⟩
65fveq1i 6354 . . . . 5 ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = (⟨“∅”⟩‘0)
7 0ex 4942 . . . . . 6 ∅ ∈ V
8 s1fv 13601 . . . . . 6 (∅ ∈ V → (⟨“∅”⟩‘0) = ∅)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (⟨“∅”⟩‘0) = ∅
106, 9eqtri 2782 . . . 4 ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0) = ∅
11 id 22 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → 𝑊 = ∅)
12 fveq1 6352 . . . . . . . 8 (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = (∅‘0))
13 0fv 6389 . . . . . . . 8 (∅‘0) = ∅
1412, 13syl6eq 2810 . . . . . . 7 (𝑊 = ∅ → (𝑊‘0) = ∅)
1514s1eqd 13591 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“∅”⟩)
1611, 15oveq12d 6832 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = (∅ ++ ⟨“∅”⟩))
1716fveq1d 6355 . . . 4 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = ((∅ ++ ⟨“∅”⟩)‘0))
1810, 17, 143eqtr4a 2820 . . 3 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
192, 18syl 17 . 2 (((♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
20 wrdv 13526 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ∈ Word V)
2120adantl 473 . . 3 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word V)
22 fvexd 6365 . . 3 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊‘0) ∈ V)
23 lencl 13530 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
24 df-ne 2933 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑊) = 0)
25 elnnne0 11518 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
2625simplbi2 656 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2724, 26syl5bir 233 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑊) = 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2823, 27syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (♯‘𝑊) = 0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
2928impcom 445 . . . 4 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
30 lbfzo0 12722 . . . 4 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3129, 30sylibr 224 . . 3 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32 ccats1val1 13620 . . 3 ((𝑊 ∈ Word V ∧ (𝑊‘0) ∈ V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3321, 22, 31, 32syl3anc 1477 . 2 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3419, 33pm2.61ian 866 1 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  c0 4058  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  cn 11232  0cn0 11504  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508
This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  27275
  Copyright terms: Public domain W3C validator