MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cbvitg 23482
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2 𝑦𝐵
cbvitg.3 𝑥𝐶
Assertion
Ref Expression
cbvitg 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥𝐴
2 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑦0
3 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑦
4 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑦
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
6 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 /
7 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(i↑𝑘)
85, 6, 7nfov 6641 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
94, 8nffv 6165 . . . . . . . . . 10 𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
102, 3, 9nfbr 4669 . . . . . . . . 9 𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
111, 10nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
1211, 9, 2nfif 4093 . . . . . . 7 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦𝐴
14 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥0
15 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥
16 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐶
18 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 /
19 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(i↑𝑘)
2017, 18, 19nfov 6641 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
2116, 20nffv 6165 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2214, 15, 21nfbr 4669 . . . . . . . . 9 𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2313, 22nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑥(𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2423, 21, 14nfif 4093 . . . . . . 7 𝑥if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
2726oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐶 / (i↑𝑘)))
2827fveq2d 6162 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2928breq2d 4635 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
3025, 29anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
3130, 28ifbieq1d 4087 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3212, 24, 31cbvmpt 4719 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
3433fveq2d 6162 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
3534oveq2d 6631 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
3635sumeq2i 14379 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
37 eqid 2621 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
3837dfitg 23476 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
39 eqid 2621 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
4039dfitg 23476 . 2 𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4136, 38, 403eqtr4i 2653 1 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wnfc 2748  ifcif 4064   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  ici 9898   · cmul 9901  cle 10035   / cdiv 10644  3c3 11031  ...cfz 12284  cexp 12816  cre 13787  Σcsu 14366  2citg2 23325  citg 23327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-seq 12758  df-sum 14367  df-itg 23332
This theorem is referenced by:  cbvitgv  23483  itgmpt  23489  itgfsum  23533  itgabs  23541  cbvditg  23558  itgparts  23748  itgsubstlem  23749  itgulm2  24101  itgabsnc  33150
  Copyright terms: Public domain W3C validator