MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cbvitg 23741
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvitg.1 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
cbvitg.2 𝑦𝐵
cbvitg.3 𝑥𝐶
Assertion
Ref Expression
cbvitg 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cbvitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑥𝐴
2 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑦0
3 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑦
4 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑦
5 cbvitg.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝐵
6 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 /
7 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(i↑𝑘)
85, 6, 7nfov 6839 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
94, 8nffv 6359 . . . . . . . . . 10 𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
102, 3, 9nfbr 4851 . . . . . . . . 9 𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
111, 10nfan 1977 . . . . . . . 8 𝑦(𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
1211, 9, 2nfif 4259 . . . . . . 7 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
13 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦𝐴
14 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥0
15 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥
16 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑥
17 cbvitg.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐶
18 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 /
19 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(i↑𝑘)
2017, 18, 19nfov 6839 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐶 / (i↑𝑘))
2116, 20nffv 6359 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2214, 15, 21nfbr 4851 . . . . . . . . 9 𝑥0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
2313, 22nfan 1977 . . . . . . . 8 𝑥(𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2423, 21, 14nfif 4259 . . . . . . 7 𝑥if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)
25 eleq1w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
26 cbvitg.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
2726oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 / (i↑𝑘)) = (𝐶 / (i↑𝑘)))
2827fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
2928breq2d 4816 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))))
3025, 29anbi12d 749 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))))
3130, 28ifbieq1d 4253 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3212, 24, 31cbvmpt 4901 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
3332a1i 11 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
3433fveq2d 6356 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
3534oveq2d 6829 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
3635sumeq2i 14628 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
37 eqid 2760 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
3837dfitg 23735 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
39 eqid 2760 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
4039dfitg 23735 . 2 𝐴𝐶 d𝑦 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
4136, 38, 403eqtr4i 2792 1 𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑦
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wnfc 2889  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  ici 10130   · cmul 10133  cle 10267   / cdiv 10876  3c3 11263  ...cfz 12519  cexp 13054  cre 14036  Σcsu 14615  2citg2 23584  citg 23586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-sum 14616  df-itg 23591
This theorem is referenced by:  cbvitgv  23742  itgmpt  23748  itgfsum  23792  itgabs  23800  cbvditg  23817  itgparts  24009  itgsubstlem  24010  itgulm2  24362  itgabsnc  33792
  Copyright terms: Public domain W3C validator