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Theorem caushft 33882
Description: A shifted Cauchy sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caures.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caures.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
caures.4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caushft.4 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
caushft.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
caushft.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
caushft.8 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
caushft.9 (𝜑𝐺:𝑊𝑋)
Assertion
Ref Expression
caushft (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem caushft
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caushft.8 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2 caures.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 caures.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22358 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 caures.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 caushft.7 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
87ralrimiva 3114 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)))
9 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
10 fvoveq1 6815 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
119, 10eqeq12d 2785 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
1211rspccva 3457 . . . . . . 7 ((∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
138, 12sylan 561 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
142, 5, 6, 7, 13iscau4 23295 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))))
151, 14mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)))
1615simprd 477 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
172eleq2i 2841 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
19 caushft.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 eluzadd 11916 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
2118, 19, 20syl2anr 576 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
22 caushft.4 . . . . . . 7 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
2321, 22syl6eleqr 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊)
24 simplr 744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗𝑍)
2524, 2syl6eleq 2859 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
26 eluzelz 11897 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑗 ∈ ℤ)
2819ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)))
30 eluzsub 11917 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗))
32 simp3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
3332ralimi 3100 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥)
34 fvoveq1 6815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑚𝑁) → (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) = (𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁)))
3534oveq1d 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑚𝑁) → ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
3635breq1d 4794 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚𝑁) → (((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
3736rspcv 3454 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑁) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
3831, 33, 37syl2im 40 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥))
39 eluzelz 11897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)) → 𝑚 ∈ ℤ)
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℤ)
4140zcnd 11684 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℂ)
4219zcnd 11684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
4441, 43npcand 10597 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝑚𝑁) + 𝑁) = 𝑚)
4544fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁)) = (𝐺𝑚))
4645oveq1d 6807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))))
473ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
48 caushft.9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:𝑊𝑋)
4948ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝐺:𝑊𝑋)
5022uztrn2 11905 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚𝑊)
5123, 50sylan 561 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → 𝑚𝑊)
5249, 51ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺𝑚) ∈ 𝑋)
5348adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺:𝑊𝑋)
5453, 23ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
5554adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋)
56 metsym 22374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5747, 52, 55, 56syl3anc 1475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺𝑚)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5846, 57eqtrd 2804 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → ((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
5958breq1d 4794 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (((𝐺‘((𝑚𝑁) + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6038, 59sylibd 229 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6160ralrimdva 3117 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
62 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (ℤ𝑛) = (ℤ‘(𝑗 + 𝑁)))
63 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝑗 + 𝑁)))
6463oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → ((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) = ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)))
6564breq1d 4794 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6662, 65raleqbidv 3300 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 𝑁) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6766rspcev 3458 . . . . . 6 (((𝑗 + 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 𝑁))((𝐺‘(𝑗 + 𝑁))𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥)
6823, 61, 67syl6an 655 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
6968rexlimdva 3178 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7069ralimdv 3111 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 𝑁)) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘(𝑘 + 𝑁))𝐷(𝐺‘(𝑗 + 𝑁))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7116, 70mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥)
726, 19zaddcld 11687 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
73 eqidd 2771 . . 3 ((𝜑𝑚𝑊) → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑚))
74 eqidd 2771 . . 3 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑛))
7522, 5, 72, 73, 74, 48iscauf 23296 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑛𝑊𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛)𝐷(𝐺𝑚)) < 𝑥))
7671, 75mpbird 247 1 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  pm cpm 8009  cc 10135   + caddc 10140   < clt 10275  cmin 10467  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  ∞Metcxmt 19945  Metcme 19946  Caucca 23269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-cau 23272
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