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Theorem caucvgrlem 14573
Description: Lemma for caurcvgr 14574. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
caucvgrlem.4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
caucvgrlem (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑅,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgrlem
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 caurcvgr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 reex 10190 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
43ssex 4942 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
63a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ V)
7 fex2 7274 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
81, 5, 6, 7syl3anc 1463 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 limsupcl 14374 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
1110adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
121adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
13 simprl 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑗𝐴)
1412, 13ffvelrnd 6511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
15 caucvgrlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rpred 12036 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ)
1814, 17readdcld 10232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ)
19 mnfxr 10259 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ ∈ ℝ*)
2114, 17resubcld 10621 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 10252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ*)
2321mnfltd 12122 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ < ((𝐹𝑗) − 𝑅))
242adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25 ressxr 10246 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
26 fss 6205 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
271, 25, 26sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2827adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
29 caurcvgr.3 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3029adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3124, 13sseldd 3733 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑗 ∈ ℝ)
32 simprr 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
33 breq2 4796 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑗𝑘𝑗𝑚))
34 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
3534oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)))
3635fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))))
3736breq1d 4802 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
3833, 37imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) ↔ (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
3938cbvralv 3298 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
4032, 39sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
4112ffvelrnda 6510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
4214adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4341, 42resubcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
4443recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
4544abscld 14345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
4617adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
47 ltle 10289 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅))
4845, 46, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅))
4941, 42, 46absdifled 14343 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅 ↔ (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
5048, 49sylibd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
51 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))
5250, 51syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
5352imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5453ralimdva 3088 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5540, 54mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
56 breq1 4795 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑚𝑗𝑚))
5756imbi1d 330 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)) ↔ (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5857ralbidv 3112 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))))
5958rspcev 3437 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
6031, 55, 59syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚)))
6124, 28, 22, 30, 60limsupbnd2 14384 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (lim sup‘𝐹))
6220, 22, 11, 23, 61xrltletrd 12156 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → -∞ < (lim sup‘𝐹))
6318rexrd 10252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ*)
6445adantrr 755 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
6517adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℝ)
66 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑚𝐴)
67 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
68 simprr 813 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑗𝑚)
6938rspcv 3433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅) → (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
7066, 67, 68, 69syl3c 66 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)
7164, 65, 70ltled 10348 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅)
7241adantrr 755 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
7314adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
7472, 73, 65absdifled 14343 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) ≤ 𝑅 ↔ (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
7571, 74mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ∧ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7675simprd 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
7776expr 644 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7877ralrimiva 3092 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
7956imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)) ↔ (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
8079ralbidv 3112 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))))
8180rspcev 3437 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
8231, 78, 81syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑚𝐴 (𝑛𝑚 → (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
8324, 28, 63, 82limsupbnd1 14383 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
84 xrre 12164 . . . 4 ((((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (lim sup‘𝐹) ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
8511, 18, 62, 83, 84syl22anc 1464 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
8685adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
8772, 86resubcld 10621 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℝ)
8887recnd 10231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)) ∈ ℂ)
8988abscld 14345 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) ∈ ℝ)
90 2re 11253 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
91 remulcl 10184 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
9290, 65, 91sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
93 3re 11257 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
94 remulcl 10184 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (3 · 𝑅) ∈ ℝ)
9593, 65, 94sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (3 · 𝑅) ∈ ℝ)
9672recnd 10231 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
9786recnd 10231 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
9896, 97abssubd 14362 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) = (abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))))
9972, 92resubcld 10621 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ∈ ℝ)
10021adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ∈ ℝ)
10165recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℂ)
1021012timesd 11438 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
103102oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) = ((𝐹𝑚) − (𝑅 + 𝑅)))
10496, 101, 101subsub4d 10586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅) = ((𝐹𝑚) − (𝑅 + 𝑅)))
105103, 104eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) = (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅))
10672, 65resubcld 10621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − 𝑅) ∈ ℝ)
10772, 65, 73lesubaddd 10787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑗) ↔ (𝐹𝑚) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅)))
10876, 107mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑗))
109106, 73, 65, 108lesub1dd 10806 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) − 𝑅) − 𝑅) ≤ ((𝐹𝑗) − 𝑅))
110105, 109eqbrtrd 4814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ ((𝐹𝑗) − 𝑅))
11161adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (lim sup‘𝐹))
11299, 100, 86, 110, 111letrd 10357 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ (lim sup‘𝐹))
11318adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ∈ ℝ)
11472, 92readdcld 10232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)) ∈ ℝ)
11583adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑗) + 𝑅))
11672, 65readdcld 10232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + 𝑅) ∈ ℝ)
11775, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚))
11873, 65, 72lesubaddd 10787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑗) − 𝑅) ≤ (𝐹𝑚) ↔ (𝐹𝑗) ≤ ((𝐹𝑚) + 𝑅)))
119117, 118mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (𝐹𝑗) ≤ ((𝐹𝑚) + 𝑅))
12073, 116, 65, 119leadd1dd 10804 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ≤ (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅))
12196, 101, 101addassd 10225 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅) = ((𝐹𝑚) + (𝑅 + 𝑅)))
122102oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)) = ((𝐹𝑚) + (𝑅 + 𝑅)))
123121, 122eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (((𝐹𝑚) + 𝑅) + 𝑅) = ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
124120, 123breqtrd 4818 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((𝐹𝑗) + 𝑅) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
12586, 113, 114, 115, 124letrd 10357 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))
12686, 72, 92absdifled 14343 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → ((abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))) ≤ (2 · 𝑅) ↔ (((𝐹𝑚) − (2 · 𝑅)) ≤ (lim sup‘𝐹) ∧ (lim sup‘𝐹) ≤ ((𝐹𝑚) + (2 · 𝑅)))))
127112, 125, 126mpbir2and 995 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((lim sup‘𝐹) − (𝐹𝑚))) ≤ (2 · 𝑅))
12898, 127eqbrtrd 4814 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) ≤ (2 · 𝑅))
129 2lt3 11358 . . . . . . . 8 2 < 3
13090a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 2 ∈ ℝ)
13193a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 3 ∈ ℝ)
13215adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
133132adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
134130, 131, 133ltmul1d 12077 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 < 3 ↔ (2 · 𝑅) < (3 · 𝑅)))
135129, 134mpbii 223 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (2 · 𝑅) < (3 · 𝑅))
13689, 92, 95, 128, 135lelttrd 10358 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ (𝑚𝐴𝑗𝑚)) → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))
137136expr 644 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
138137ralrimiva 3092 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
13934oveq1d 6816 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹)) = ((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹)))
140139fveq2d 6344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))))
141140breq1d 4802 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅) ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
14233, 141imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)) ↔ (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
143142cbvralv 3298 . . . 4 (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)) ↔ ∀𝑚𝐴 (𝑗𝑚 → (abs‘((𝐹𝑚) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
144138, 143sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅)))
14585, 144jca 555 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))) → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
146 caurcvgr.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
147 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
148147imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
149148rexralbidv 3184 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
150149rspcv 3433 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅)))
15115, 146, 150sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑅))
152145, 151reximddv 3144 1 (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  Vcvv 3328  wss 3703   class class class wbr 4792  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  supcsup 8499  cr 10098   + caddc 10102   · cmul 10104  +∞cpnf 10234  -∞cmnf 10235  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  2c2 11233  3c3 11234  +crp 11996  abscabs 14144  lim supclsp 14371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372
This theorem is referenced by:  caurcvgr  14574
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