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Theorem caucvgb 14629
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caucvgb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem caucvgb
Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5475 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ ))
21ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
3 df-br 4805 . . . . 5 (𝐹𝑚 ↔ ⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ )
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 1rp 12049 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 1 ∈ ℝ+)
8 eqidd 2761 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
9 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → 𝐹𝑚)
104, 5, 7, 8, 9climi 14460 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1))
11 simpl 474 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211ralimi 3090 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312reximi 3149 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑚)) < 1) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514ex 449 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝑚 → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
163, 15syl5bir 233 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (⟨𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
1716exlimdv 2010 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑚𝐹, 𝑚⟩ ∈ ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
182, 17syl5 34 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
19 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑛 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑛))
2019raleqdv 3283 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
2120cbvrexv 3311 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2221a1i 11 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
23 simpl 474 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2423ralimi 3090 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2524reximi 3149 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2625ralimi 3090 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
276a1i 11 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → 1 ∈ ℝ+)
2822, 26, 27rspcdva 3455 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2928a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ))
30 eluzelz 11909 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
3130, 4eleq2s 2857 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
32 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3332climcau 14620 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3431, 33sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3532r19.29uz 14309 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3635ex 449 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3736ralimdv 3101 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3834, 37mpan9 487 . . . . . . 7 (((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938an32s 881 . . . . . 6 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4039adantll 752 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
41 simplrr 820 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
42 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
4342eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑚) ∈ ℂ))
4443rspccva 3448 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
4541, 44sylan 489 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
46 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4746ralimi 3090 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4842oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)))
4948fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))))
5049breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5150cbvralv 3310 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5247, 51sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5352reximi 3149 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5453ralimi 3090 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
5554adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
56 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑖))
57 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑖))
5857oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖)))
5958fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 → (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))))
6059breq1d 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6156, 60raleqbidv 3291 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥))
6261cbvrexv 3311 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥)
63 breq2 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6463rexralbidv 3196 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6562, 64syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦))
6665cbvralv 3310 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
6755, 66sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝐹𝑚) − (𝐹𝑖))) < 𝑦)
68 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹𝑉)
6932, 45, 67, 68caucvg 14628 . . . . . 6 (((𝐹𝑉 ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7069adantlll 756 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
7140, 70impbida 913 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
724, 32cau4 14315 . . . . 5 (𝑛𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7372ad2antrl 766 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7471, 73bitr4d 271 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
7574rexlimdvaa 3170 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
7618, 29, 75pm5.21ndd 368 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  cop 4327   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  1c1 10149   < clt 10286  cmin 10478  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  abscabs 14193  cli 14434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439
This theorem is referenced by:  serf0  14630
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