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Theorem caucfil 23300
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucfil.2 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
Assertion
Ref Expression
caucfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1073 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 11906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
43adantll 693 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
5 simpll3 1258 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍𝑋)
6 fdm 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
84, 7eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
95, 4ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
108, 9jca 501 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
1110biantrurd 522 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
12 uzss 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1312adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1413sseld 3751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)))
1514pm4.71rd 552 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))))
1615imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
17 impexp 437 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
1816, 17syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
1918ralbidv2 3133 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
2011, 19bitr3d 270 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
211, 20syl5bb 272 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
2221ralbidva 3134 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
23 r19.26-2 3213 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
24 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
25 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑘 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑘))
2625oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)))
2726breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2824, 27imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
2928cbvralv 3320 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
3029ralbii 3129 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
31 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑘))
3231eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ𝑘)))
33 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
3433oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)))
3534breq1d 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥))
3632, 35imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥)))
37 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
38 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑚 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑚))
3938oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
4039breq1d 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4137, 40imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
4236, 41cbvral2v 3328 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
43 ralcom 3246 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4430, 42, 433bitr3i 290 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4544anbi2i 609 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
46 anidm 554 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4723, 45, 463bitr2i 288 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
48 simpll1 1254 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
49 simpll3 1258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
502uztrn2 11906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚𝑍)
5150ad2ant2l 740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑚𝑍)
5249, 51ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
539adantrr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
54 xmetsym 22372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5548, 52, 53, 54syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5655breq1d 4796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
5756imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
5857anbi2d 614 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
59 jaob 946 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
60 eluzelz 11898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
61 eluzelz 11898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
62 uztric 11910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6360, 61, 62syl2an 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6463adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
65 pm5.5 350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6759, 66syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6858, 67bitrd 268 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
69682ralbidva 3137 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7047, 69syl5bbr 274 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7122, 70bitrd 268 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7271rexbidva 3197 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
73 uzf 11891 . . . . . 6 :ℤ⟶𝒫 ℤ
74 ffn 6185 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
7573, 74ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
76 uzssz 11908 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
772, 76eqsstri 3784 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
78 raleq 3287 . . . . . . 7 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7978raleqbi1dv 3295 . . . . . 6 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8079rexima 6640 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8175, 77, 80mp2an 672 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
8272, 81syl6bbr 278 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8382ralbidv 3135 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
84 elfvdm 6361 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8584adantr 466 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
86 cnex 10219 . . . . . 6 ℂ ∈ V
8785, 86jctir 510 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
88 zsscn 11587 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
8977, 88sstri 3761 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
9089jctr 514 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
91 elpm2r 8027 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
9287, 90, 91syl2an 583 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
93 simpl 468 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
94 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
952, 93, 94iscau3 23295 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
9695baibd 529 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
9792, 96syldan 579 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
98973impa 1100 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
99 caucfil.2 . . . 4 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
10099eleq1i 2841 . . 3 (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
1012uzfbas 21922 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
102 fmcfil 23289 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
103101, 102syl3an2 1167 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
104100, 103syl5bb 272 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
10583, 98, 1043bitr4d 300 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  wss 3723  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  pm cpm 8010  cc 10136   < clt 10276  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  ∞Metcxmt 19946  fBascfbas 19949   FilMap cfm 21957  CauFilccfil 23269  Caucca 23270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-rest 16291  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-fil 21870  df-fm 21962  df-cfil 23272  df-cau 23273
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  23305
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