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Theorem cau3lem 14138
Description: Lemma for cau3 14139. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1 𝑍 ⊆ ℤ
cau3lem.2 (𝜏𝜓)
cau3lem.3 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
cau3lem.4 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
cau3lem.5 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
cau3lem.6 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
cau3lem.7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cau3lem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝜒   𝑥,𝑘,𝐷,𝑚   𝑘,𝐹,𝑚,𝑥   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝜑   𝑘,𝐺,𝑚,𝑥   𝜓,𝑚,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑘   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑗)   𝜃(𝑥,𝑗,𝑚)   𝜏(𝑗,𝑘,𝑚)   𝐷(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
21anbi2d 740 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
32rexralbidv 3087 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧)))
43cbvralv 3201 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧))
5 rphalfcl 11896 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 / 2) → ((𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ (𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
87rexralbidv 3087 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
98rspcv 3336 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
105, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜏𝜓)
1312ralimi 2981 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
14 r19.26 3093 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
15 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑚) → (𝜓𝜃))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → (𝜓𝜃))
1815oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗)))
1918fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))))
2019breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2117, 20anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2221cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2322biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2514, 24syl5bir 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
2625expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))))
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ⊆ ℤ
2827sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
29 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
31 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) = (𝐹𝑗) → (𝜓𝜒))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝜓𝜒))
3433rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3530, 34sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3635adantll 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → 𝜒)
3726, 36jctild 565 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))))
38 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜑)
39 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜃)
40 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜒)
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝜃𝜒) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
4342breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)))
4443anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2))))
45 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝜓)
46 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃) ∧ (𝜒𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5044, 49sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → (((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5150expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
5251impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒𝜃)) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5352an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒𝜃)) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5453anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) ∧ 𝜃) → ((𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5554expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → ((𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5655ralimdv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝜒) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
5756impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5857an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ (𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)
5958expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
60 uzss 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
61 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6359, 62sylan9 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝜓) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6463an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6564expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6665ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
6766ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6867com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜓 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7014, 69syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7170expdimp 452 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ((𝜒 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝜃 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7237, 71mpdd 43 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7313, 72sylan2 490 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7473imdistanda 729 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
75 r19.26 3093 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)))
76 r19.26 3093 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
7774, 75, 763imtr4g 285 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7877reximdva 3046 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
7911, 78syld 47 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
8079ralrimdva 2998 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑧) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
814, 80syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
82 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
8331oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)))
8483fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))))
8584breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8682, 85raleqbidv 3182 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8786rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
8887ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥))
89 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
9089oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)))
9190fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) = (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))))
9291breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥))
9392cbvralv 3201 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥)
9434anim2i 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)) → (𝜑𝜒))
9594anassrs 681 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (𝜑𝜒))
96 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓)
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝜒𝜓) → (𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) = (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))))
9897breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝜒𝜓) → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
99983expia 1286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝜒) → (𝜓 → ((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10099ralimdv 2992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝜒) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10195, 96, 100sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
102 ralbi 3097 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10493, 103syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10588, 104sylibd 229 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜓) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
10613, 105sylan2 490 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
107106imdistanda 729 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑗)) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
10830, 107sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
109 r19.26 3093 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜏 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥))
110108, 76, 1093imtr4g 285 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
111110reximdva 3046 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
112111ralimdv 2992 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥)))
11381, 112impbid 202 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ (𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝜏 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)(𝐺‘((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚))) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973   < clt 10112   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  cau3  14139  iscau3  23122
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