Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats2cat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats2cat 13653
 Description: Closure of concatenation of concatenations with singleton words. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cats2cat.b 𝐵 ∈ Word V
cats2cat.d 𝐷 ∈ Word V
cats2cat.a 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats2cat.c 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cats2cat (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)

Proof of Theorem cats2cat
StepHypRef Expression
1 cats2cat.a . . 3 𝐴 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2 cats2cat.c . . 3 𝐶 = (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)
31, 2oveq12i 6702 . 2 (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
4 cats2cat.b . . . 4 𝐵 ∈ Word V
5 s1cli 13421 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6 ccatcl 13392 . . . 4 ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
74, 5, 6mp2an 708 . . 3 (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V
8 s1cli 13421 . . 3 ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
9 cats2cat.d . . 3 𝐷 ∈ Word V
10 ccatass 13406 . . 3 (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐷 ∈ Word V) → (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷)))
117, 8, 9, 10mp3an 1464 . 2 (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ (⟨“𝑌”⟩ ++ 𝐷))
12 ccatass 13406 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V) → ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
134, 5, 8, 12mp3an 1464 . . . 4 ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))
14 df-s2 13639 . . . . . 6 ⟨“𝑋𝑌”⟩ = (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)
1514eqcomi 2660 . . . . 5 (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1615oveq2i 6701 . . . 4 (𝐵 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
1713, 16eqtri 2673 . . 3 ((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)
1817oveq1i 6700 . 2 (((𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ++ 𝐷) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)
193, 11, 183eqtr2i 2679 1 (𝐴 ++ 𝐶) = ((𝐵 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩) ++ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  (class class class)co 6690  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  ⟨“cs2 13632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639 This theorem is referenced by:  s3s4  13724  s2s5  13725  s5s2  13726
 Copyright terms: Public domain W3C validator