Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgsigalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgsigalem 30505
Description: Lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
Assertion
Ref Expression
carsgsigalem ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑓,𝑂,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem carsgsigalem
StepHypRef Expression
1 unidm 3789 . . . . 5 (𝑒𝑒) = 𝑒
2 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 𝑒 = 𝑓)
32uneq2d 3800 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒𝑒) = (𝑒𝑓))
41, 3syl5reqr 2700 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒𝑓) = 𝑒)
54fveq2d 6233 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) = (𝑀𝑒))
6 iccssxr 12294 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝜑)
8 carsgval.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10 simp2 1082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
119, 10ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
126, 11sseldi 3634 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
1312adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
142fveq2d 6233 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑒) = (𝑀𝑓))
1514, 13eqeltrrd 2731 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑓) ∈ ℝ*)
16 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
179, 16ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
1817adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
19 elxrge0 12319 . . . . . 6 ((𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝑓) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝑓)))
2019simprbi 479 . . . . 5 ((𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀𝑓))
2118, 20syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 0 ≤ (𝑀𝑓))
22 xraddge02 29649 . . . . 5 (((𝑀𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝑓) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀𝑓) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓))))
2322imp 444 . . . 4 ((((𝑀𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝑓) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝑀𝑓)) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
2413, 15, 21, 23syl21anc 1365 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
255, 24eqbrtrd 4707 . 2 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
26 uniprg 4482 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} = (𝑒𝑓))
2726fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒𝑓)))
28273adant1 1099 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒𝑓)))
29 prct 29620 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
30293adant1 1099 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
31 prssi 4385 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
32313adant1 1099 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
33 prex 4939 . . . . . . 7 {𝑒, 𝑓} ∈ V
34 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑒, 𝑓} ≼ ω))
35 sseq1 3659 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂))
3634, 353anbi23d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)))
37 unieq 4476 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → 𝑥 = {𝑒, 𝑓})
3837fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑀 𝑥) = (𝑀 {𝑒, 𝑓}))
39 esumeq1 30224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
4038, 39breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦) ↔ (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦)))
4136, 40imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))))
42 carsgsiga.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
4341, 42vtoclg 3297 . . . . . . 7 ({𝑒, 𝑓} ∈ V → ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦)))
4433, 43ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
457, 30, 32, 44syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
4628, 45eqbrtrrd 4709 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
4746adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
48 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → 𝑦 = 𝑒)
4948fveq2d 6233 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑒))
5049adantlr 751 . . . 4 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑒))
51 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → 𝑦 = 𝑓)
5251fveq2d 6233 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑓))
5352adantlr 751 . . . 4 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑓))
5410adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
5516adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
5611adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
5717adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
58 simpr 476 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → 𝑒𝑓)
5950, 53, 54, 55, 56, 57, 58esumpr 30256 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦) = ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
6047, 59breqtrd 4711 . 2 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
6125, 60pm2.61dane 2910 1 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {cpr 4212   cuni 4468   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  cle 10113   +𝑒 cxad 11982  [,]cicc 12216  Σ*cesum 30217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-esum 30218
This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  30506  carsgclctunlem3  30510
  Copyright terms: Public domain W3C validator