Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem1 30688
Description: Lemma for carsgclctun 30692. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
fiunelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fiunelcarsg.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem1.1 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
carsgclctunlem1.2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem1
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4596 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → 𝑎 = ∅)
21ineq2d 3957 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝐸 𝑎) = (𝐸 ∅))
32fveq2d 6356 . . 3 (𝑎 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 ∅)))
4 esumeq1 30405 . . 3 (𝑎 = ∅ → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
53, 4eqeq12d 2775 . 2 (𝑎 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦))))
6 unieq 4596 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
76ineq2d 3957 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝑏))
87fveq2d 6356 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
9 esumeq1 30405 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
108, 9eqeq12d 2775 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))))
11 unieq 4596 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}))
1211ineq2d 3957 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝐸 𝑎) = (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})))
1312fveq2d 6356 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))))
14 esumeq1 30405 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
1513, 14eqeq12d 2775 . 2 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑥}) → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
16 unieq 4596 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
1716ineq2d 3957 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝐸 𝑎) = (𝐸 𝐴))
1817fveq2d 6356 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑀‘(𝐸 𝑎)) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
19 esumeq1 30405 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
2018, 19eqeq12d 2775 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝐸 𝑎)) = Σ*𝑦𝑎(𝑀‘(𝐸𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦))))
21 carsgsiga.1 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
22 uni0 4617 . . . . . 6 ∅ = ∅
2322ineq2i 3954 . . . . 5 (𝐸 ∅) = (𝐸 ∩ ∅)
24 in0 4111 . . . . 5 (𝐸 ∩ ∅) = ∅
2523, 24eqtri 2782 . . . 4 (𝐸 ∅) = ∅
2625fveq2i 6355 . . 3 (𝑀‘(𝐸 ∅)) = (𝑀‘∅)
27 esumnul 30419 . . 3 Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)) = 0
2821, 26, 273eqtr4g 2819 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∅)) = Σ*𝑦 ∈ ∅(𝑀‘(𝐸𝑦)))
29 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)))
3029eqcomd 2766 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
31 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
3231ineq2d 3957 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐸𝑦) = (𝐸𝑥))
3332fveq2d 6356 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
34 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑥 ∈ (𝐴𝑏))
35 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3635adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
37 carsgclctunlem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3837adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
3938elpwincl1 29664 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
4036, 39ffvelrnd 6523 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘(𝐸𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
4133, 34, 40esumsn 30436 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4241adantr 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
4330, 42oveq12d 6831 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
44 nfv 1992 . . . . . 6 𝑦(𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏)))
45 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑦𝑏
46 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑦{𝑥}
47 vex 3343 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏 ∈ V)
49 snex 5057 . . . . . . 7 {𝑥} ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → {𝑥} ∈ V)
5134eldifbd 3728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ¬ 𝑥𝑏)
52 disjsn 4390 . . . . . . 7 ((𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝑏)
5351, 52sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑏 ∩ {𝑥}) = ∅)
5435ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5537ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
5655elpwincl1 29664 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
5754, 56ffvelrnd 6523 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦𝑏) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
5835ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
5937ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
6059elpwincl1 29664 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝐸𝑦) ∈ 𝒫 𝑂)
6158, 60ffvelrnd 6523 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥}) → (𝑀‘(𝐸𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
6244, 45, 46, 48, 50, 53, 57, 61esumsplit 30424 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
6362adantr 472 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)) = (Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) +𝑒 Σ*𝑦 ∈ {𝑥} (𝑀‘(𝐸𝑦))))
64 inass 3966 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏))
65 indir 4018 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏))
66 inidm 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏 𝑏) = 𝑏
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏 𝑏) = 𝑏)
68 incom 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
69 carsgclctunlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → Disj 𝑦𝐴 𝑦)
71 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
7271adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → 𝑏𝐴)
7370, 72, 34disjuniel 29717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ( 𝑏𝑥) = ∅)
7468, 73syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑥 𝑏) = ∅)
7567, 74uneq12d 3911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = ( 𝑏 ∪ ∅))
76 un0 4110 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏 ∪ ∅) = 𝑏
7775, 76syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏 𝑏) ∪ (𝑥 𝑏)) = 𝑏)
7865, 77syl5eq 2806 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏) = 𝑏)
7978ineq2d 3957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∩ 𝑏)) = (𝐸 𝑏))
8064, 79syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏) = (𝐸 𝑏))
8180fveq2d 6356 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸 𝑏)))
82 indif2 4013 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)
83 uncom 3900 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑥) = (𝑥 𝑏)
8483difeq1i 3867 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏)
85 disj3 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑏) = ∅ ↔ 𝑥 = (𝑥 𝑏))
8685biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) = ∅ → 𝑥 = (𝑥 𝑏))
87 difun2 4192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = (𝑥 𝑏)
8886, 87syl6reqr 2813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 𝑏) = ∅ → ((𝑥 𝑏) ∖ 𝑏) = 𝑥)
8984, 88syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑏) = ∅ → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9074, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏) = 𝑥)
9190ineq2d 3957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ (( 𝑏𝑥) ∖ 𝑏)) = (𝐸𝑥))
9282, 91syl5eqr 2808 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏) = (𝐸𝑥))
9392fveq2d 6356 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)) = (𝑀‘(𝐸𝑥)))
9481, 93oveq12d 6831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
95 carsgval.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑂𝑉)
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑂𝑉)
9735adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9821adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
99 carsgsiga.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
100993adant1r 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
101 fiunelcarsg.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
102 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
103101, 102sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ Fin)
104 fiunelcarsg.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
105104adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
10671, 105sstrd 3754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
10796, 97, 98, 100, 103, 106fiunelcarsg 30687 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
10895, 35elcarsg 30676 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
109108adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))))
110107, 109mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐴) → ( 𝑏𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒)))
111110simprd 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐴) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
112111adantrr 755 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒))
11338elpwincl1 29664 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∈ 𝒫 𝑂)
114 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
115114ineq1d 3956 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏))
116115fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)))
117114difeq1d 3870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑒 𝑏) = ((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))
118117fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀‘(𝑒 𝑏)) = (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏)))
119116, 118oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → ((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))))
120114fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (𝑀𝑒) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
121119, 120eqeq12d 2775 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ 𝑒 = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))) → (((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) ↔ ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
122113, 121rspcdv 3452 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → (∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 𝑏))) = (𝑀𝑒) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))))
123112, 122mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∩ 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘((𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)) ∖ 𝑏))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
12494, 123eqtr3d 2796 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
125124adantr 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))))
126 uniun 4608 . . . . . . . 8 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏 {𝑥})
127 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
128127unisn 4603 . . . . . . . . 9 {𝑥} = 𝑥
129128uneq2i 3907 . . . . . . . 8 ( 𝑏 {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
130126, 129eqtri 2782 . . . . . . 7 (𝑏 ∪ {𝑥}) = ( 𝑏𝑥)
131130ineq2i 3954 . . . . . 6 (𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥})) = (𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥))
132131fveq2i 6355 . . . . 5 (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ( 𝑏𝑥)))
133125, 132syl6reqr 2813 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸𝑥))))
13443, 63, 1333eqtr4rd 2805 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) ∧ (𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦))) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦)))
135134ex 449 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑏))) → ((𝑀‘(𝐸 𝑏)) = Σ*𝑦𝑏(𝑀‘(𝐸𝑦)) → (𝑀‘(𝐸 (𝑏 ∪ {𝑥}))) = Σ*𝑦 ∈ (𝑏 ∪ {𝑥})(𝑀‘(𝐸𝑦))))
1365, 10, 15, 20, 28, 135, 101findcard2d 8367 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = Σ*𝑦𝐴(𝑀‘(𝐸𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cuni 4588  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  cdom 8119  Fincfn 8121  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  cle 10267   +𝑒 cxad 12137  [,]cicc 12371  Σ*cesum 30398  toCaraSigaccarsg 30672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-subrg 18980  df-abv 19019  df-lmod 19067  df-scaf 19068  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tmd 22077  df-tgp 22078  df-tsms 22131  df-trg 22164  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-nm 22588  df-ngp 22589  df-nrg 22591  df-nlm 22592  df-ii 22881  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-esum 30399  df-carsg 30673
This theorem is referenced by:  carsggect  30689  carsgclctunlem2  30690
  Copyright terms: Public domain W3C validator