MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardsn 8956
Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardsn (𝐴𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1𝑜)

Proof of Theorem cardsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . 3 {𝐴} = {𝐴}
2 sneq 4319 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
32eqeq2d 2758 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
43spcegv 3422 . . 3 (𝐴𝑉 → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥}))
51, 4mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
6 card1 8955 . 2 ((card‘{𝐴}) = 1𝑜 ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
75, 6sylibr 224 1 (𝐴𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wex 1841  wcel 2127  {csn 4309  cfv 6037  1𝑜c1o 7710  cardccrd 8922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-om 7219  df-1o 7717  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  9218  cfsuc  9242
  Copyright terms: Public domain W3C validator