Theorem cardon 8960

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 8959	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 5939	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6533	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  Oncon0 5884  ‘cfv 6049   ≈ cen 8118  cardccrd 8951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-card 8955

This theorem is referenced by:  isnum3  8970  cardidm  8975  ficardom  8977  cardne  8981  carden2b  8983  cardlim  8988  cardsdomelir  8989  cardsdomel  8990  iscard  8991  iscard2  8992  carddom2  8993  carduni  8997  cardom  9002  cardsdom2  9004  domtri2  9005  cardval2  9007  infxpidm2  9030  dfac8b  9044  numdom  9051  indcardi  9054  alephnbtwn  9084  alephnbtwn2  9085  alephsucdom  9092  cardaleph  9102  iscard3  9106  alephinit  9108  alephsson  9113  alephval3  9123  dfac12r  9160  dfac12k  9161  cardacda  9212  cdanum  9213  pwsdompw  9218  cff  9262  cardcf  9266  cfon  9269  cfeq0  9270  cfsuc  9271  cff1  9272  cfflb  9273  cflim2  9277  cfss  9279  fin1a2lem9  9422  ttukeylem6  9528  ttukeylem7  9529  unsnen  9567  inar1  9789  tskcard  9795  tskuni  9797  gruina  9832