Theorem cardnueq0 9000

Description: The empty set is the only numerable set with cardinality zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardnueq0	⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardnueq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 8989	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
2	1	ensymd 8174	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ≈ (card‘𝐴))
3		breq2 4808	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4		en0 8186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5	3, 4	syl6bb 276	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = ∅ → (𝐴 ≈ (card‘𝐴) ↔ 𝐴 = ∅))
6	2, 5	syl5ibcom 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
7		fveq2 6353	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = (card‘∅))
8		card0 8994	. . 3 ⊢ (card‘∅) = ∅
9	7, 8	syl6eq 2810	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (card‘𝐴) = ∅)
10	6, 9	impbid1 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ‘cfv 6049   ≈ cen 8120  cardccrd 8971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7913  df-en 8124  df-card 8975

This theorem is referenced by:  carddomi2  9006  cfeq0  9290  cfsuc  9291  sdom2en01  9336