MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardeq0 9334
Description: Only the empty set has cardinality zero. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cardeq0 (𝐴𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem cardeq0
StepHypRef Expression
1 0ex 4760 . . 3 ∅ ∈ V
2 carden 9333 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
31, 2mpan2 706 . 2 (𝐴𝑉 → ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
4 card0 8744 . . 3 (card‘∅) = ∅
54eqeq2i 2633 . 2 ((card‘𝐴) = (card‘∅) ↔ (card‘𝐴) = ∅)
6 en0 7979 . 2 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
73, 5, 63bitr3g 302 1 (𝐴𝑉 → ((card‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  c0 3897   class class class wbr 4623  cfv 5857  cen 7912  cardccrd 8721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-ac2 9245
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-er 7702  df-en 7916  df-card 8725  df-ac 8899
This theorem is referenced by:  tskcard  9563
  Copyright terms: Public domain W3C validator