Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuni 41239
Description: The base set of the sigma-algebra generated by the Caratheodory's construction is the whole base set of the original outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuni.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuni.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caragenuni (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)

Proof of Theorem caragenuni
StepHypRef Expression
1 caragenuni.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuni.s . . . . 5 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
32caragenss 41232 . . . 4 (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ dom 𝑂)
54unissd 4596 . 2 (𝜑 𝑆 dom 𝑂)
6 eqid 2770 . . . 4 dom 𝑂 = dom 𝑂
71, 6, 2caragenunidm 41236 . . 3 (𝜑 dom 𝑂𝑆)
8 elssuni 4601 . . 3 ( dom 𝑂𝑆 dom 𝑂 𝑆)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 dom 𝑂 𝑆)
105, 9eqssd 3767 1 (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721   cuni 4572  dom cdm 5249  cfv 6031  OutMeascome 41217  CaraGenccaragen 41219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-xadd 12151  df-icc 12386  df-ome 41218  df-caragen 41220
This theorem is referenced by:  caragendifcl  41242  carageniuncl  41251  unidmvon  41345
  Copyright terms: Public domain W3C validator