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Theorem caragenuncllem 41232
 Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncllem.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncllem.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncllem.e (𝜑𝐸𝑆)
caragenuncllem.f (𝜑𝐹𝑆)
caragenuncllem.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenuncllem.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
caragenuncllem (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝐴))

Proof of Theorem caragenuncllem
StepHypRef Expression
1 caragenuncllem.o . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuncllem.s . . . . . 6 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3 caragenuncllem.x . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑂
4 caragenuncllem.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
5 caragenuncllem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
65ssinss1d 39713 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ⊆ 𝑋)
71, 2, 3, 4, 6caragensplit 41220 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))))
87eqcomd 2766 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) = ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))))
9 inass 3966 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸))
10 incom 3948 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ (𝐸𝐹))
11 inabs 3998 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (𝐸𝐹)) = 𝐸
1210, 11eqtri 2782 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸) = 𝐸
1312ineq2i 3954 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸)) = (𝐴𝐸)
149, 13eqtri 2782 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴𝐸)
1514fveq2i 6355 . . . . . 6 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) = (𝑂‘(𝐴𝐸))
16 incom 3948 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐹 ∩ (𝐴𝐸))
17 indifcom 4015 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∩ (𝐴𝐸)) = (𝐴 ∩ (𝐹𝐸))
1816, 17eqtr2i 2783 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐹𝐸)) = ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)
1918eqcomi 2769 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐴 ∩ (𝐹𝐸))
20 difundir 4023 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸) = ((𝐸𝐸) ∪ (𝐹𝐸))
21 difid 4091 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝐸) = ∅
2221uneq1i 3906 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐸) ∪ (𝐹𝐸)) = (∅ ∪ (𝐹𝐸))
23 0un 39714 . . . . . . . . . 10 (∅ ∪ (𝐹𝐸)) = (𝐹𝐸)
2420, 22, 233eqtrri 2787 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐸) = ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸)
2524ineq2i 3954 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐹𝐸)) = (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸))
26 indif2 4013 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸)) = ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸)
2719, 25, 263eqtrri 2787 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸) = ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)
2827fveq2i 6355 . . . . . 6 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸)) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))
2915, 28oveq12i 6825 . . . . 5 ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)))
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
31 eqidd 2761 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
328, 30, 313eqtrd 2798 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
33 difun1 4030 . . . . 5 (𝐴 ∖ (𝐸𝐹)) = ((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)
3433fveq2i 6355 . . . 4 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))
3534a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))
3632, 35oveq12d 6831 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))))
375ssinss1d 39713 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
381, 3, 37omexrcl 41227 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ*)
391, 3, 37omecl 41223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
4039xrge0nemnfd 40046 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞)
4138, 40jca 555 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞))
42 caragenuncllem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑆)
431, 2, 42, 3caragenelss 41221 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑋)
4443ssinss2d 39727 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) ⊆ 𝑋)
451, 3, 44omexrcl 41227 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ*)
461, 3, 44omecl 41223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
4746xrge0nemnfd 40046 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞)
4845, 47jca 555 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞))
495ssdifssd 3891 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
5049ssdifssd 3891 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐸) ∖ 𝐹) ⊆ 𝑋)
511, 3, 50omexrcl 41227 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ*)
521, 3, 50omecl 41223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
5352xrge0nemnfd 40046 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞)
5451, 53jca 555 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞))
55 xaddass 12272 . . 3 ((((𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞) ∧ ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞) ∧ ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞)) → (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))))
5641, 48, 54, 55syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))))
571, 2, 3, 42, 49caragensplit 41220 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = (𝑂‘(𝐴𝐸)))
5857oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))
591, 2, 3, 4, 5caragensplit 41220 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))) = (𝑂𝐴))
6058, 59eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))) = (𝑂𝐴))
6136, 56, 603eqtrd 2798 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ∪ cuni 4588  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  -∞cmnf 10264  ℝ*cxr 10265   +𝑒 cxad 12137  OutMeascome 41209  CaraGenccaragen 41211 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-addass 10193  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-xadd 12140  df-icc 12375  df-ome 41210  df-caragen 41212 This theorem is referenced by:  caragenuncl  41233
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