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Theorem cantnfp1lem3 8574
Description: Lemma for cantnfp1 8575. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfp1.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑂𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
cantnfp1.k 𝐾 = OrdIso( E , (𝐺 supp ∅))
cantnfp1.m 𝑀 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝐾𝑘)) ·𝑜 (𝐺‘(𝐾𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem3 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (((𝐴𝑜 𝑋) ·𝑜 𝑌) +𝑜 ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑘,𝑧,𝐵   𝐴,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝐺,𝑡,𝑧   𝑘,𝐾,𝑡,𝑧   𝑘,𝑂,𝑧   𝜑,𝑘,𝑡,𝑧   𝑘,𝑌,𝑡,𝑧   𝑘,𝑋,𝑡,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑡,𝑘)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 cantnfp1.o . . 3 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5 cantnfp1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
6 cantnfp1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
7 cantnfp1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐴)
8 cantnfp1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
9 cantnfp1.f . . . 4 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
101, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9cantnfp1lem1 8572 . . 3 (𝜑𝐹𝑆)
11 cantnfp1.h . . 3 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑂𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 8562 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝑂))
13 cantnfp1.e . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
141, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 4cantnfp1lem2 8573 . . 3 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
1514fveq2d 6193 . 2 (𝜑 → (𝐻‘dom 𝑂) = (𝐻‘suc dom 𝑂))
161, 2, 3, 4, 10cantnfcl 8561 . . . . . . 7 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
1716simprd 479 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
1814, 17eqeltrrd 2701 . . . . 5 (𝜑 → suc dom 𝑂 ∈ ω)
19 peano2b 7078 . . . . 5 ( dom 𝑂 ∈ ω ↔ suc dom 𝑂 ∈ ω)
2018, 19sylibr 224 . . . 4 (𝜑 dom 𝑂 ∈ ω)
211, 2, 3, 4, 10, 11cantnfsuc 8564 . . . 4 ((𝜑 dom 𝑂 ∈ ω) → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴𝑜 (𝑂 dom 𝑂)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +𝑜 (𝐻 dom 𝑂)))
2220, 21mpdan 702 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴𝑜 (𝑂 dom 𝑂)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +𝑜 (𝐻 dom 𝑂)))
23 suppssdm 7305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
247adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
251, 2, 3cantnfs 8560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
265, 25mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
2726simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2827ffvelrnda 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
2924, 28ifcld 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
3029, 9fmptd 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
31 fdm 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐵𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
3323, 32syl5sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
343, 33ssexd 4803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
3516simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
364oiiso 8439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)))
3734, 35, 36syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)))
38 isof1o 6570 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) → 𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
40 f1ocnv 6147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝑂:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝑂)
41 f1of 6135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝑂𝑂:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝑂)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝑂)
43 iftrue 4090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4443, 9fvmptg 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝐵𝑌𝐴) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
456, 7, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
46 onelon 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ On)
472, 7, 46syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ On)
48 on0eln0 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
5013, 49mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
5145, 50eqnetrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
52 ffn 6043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐵𝐴𝐹 Fn 𝐵)
5330, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
54 0ex 4788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ∈ V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∅ ∈ V)
56 elsuppfn 7300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
5753, 3, 55, 56syl3anc 1325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
586, 51, 57mpbir2and 957 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
5942, 58ffvelrnd 6358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂)
60 elssuni 4465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂 → (𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂)
624oicl 8431 . . . . . . . . . . . 12 Ord dom 𝑂
63 ordelon 5745 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂) → (𝑂𝑋) ∈ On)
6462, 59, 63sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ On)
65 nnon 7068 . . . . . . . . . . . 12 ( dom 𝑂 ∈ ω → dom 𝑂 ∈ On)
6620, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 dom 𝑂 ∈ On)
67 ontri1 5755 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑋) ∈ On ∧ dom 𝑂 ∈ On) → ((𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂 ↔ ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋)))
6864, 66, 67syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ⊆ dom 𝑂 ↔ ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋)))
6961, 68mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋))
70 sucidg 5801 . . . . . . . . . . . . . 14 ( dom 𝑂 ∈ ω → dom 𝑂 ∈ suc dom 𝑂)
7120, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 dom 𝑂 ∈ suc dom 𝑂)
7271, 14eleqtrrd 2703 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂)
73 isorel 6573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) ∧ ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 ∧ (𝑂𝑋) ∈ dom 𝑂)) → ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋))))
7437, 72, 59, 73syl12anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋))))
75 fvex 6199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑋) ∈ V
7675epelc 5029 . . . . . . . . . . 11 ( dom 𝑂 E (𝑂𝑋) ↔ dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋))
77 fvex 6199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂‘(𝑂𝑋)) ∈ V
7877epelc 5029 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂 dom 𝑂) E (𝑂‘(𝑂𝑋)) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋)))
7974, 76, 783bitr3g 302 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋))))
80 f1ocnvfv2 6530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑂‘(𝑂𝑋)) = 𝑋)
8139, 58, 80syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑂𝑋)) = 𝑋)
8281eleq2d 2686 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
8379, 82bitrd 268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
8469, 83mtbid 314 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋)
858sseld 3600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) → (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋))
86 onss 6987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
873, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ⊆ On)
8833, 87sstrd 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
894oif 8432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂:dom 𝑂⟶(𝐹 supp ∅)
9089ffvelrni 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐹 supp ∅))
9172, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐹 supp ∅))
9288, 91sseldd 3602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ On)
93 eloni 5731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ On → Ord (𝑂 dom 𝑂))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Ord (𝑂 dom 𝑂))
95 ordn2lp 5741 . . . . . . . . . . . 12 (Ord (𝑂 dom 𝑂) → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
97 imnan 438 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)) ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
9896, 97sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
9985, 98syld 47 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
100 onelon 5746 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ On)
1013, 6, 100syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ On)
102 eloni 5731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ On → Ord 𝑋)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Ord 𝑋)
104 ordirr 5739 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝑋 → ¬ 𝑋𝑋)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑋)
106 elsni 4192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (𝑂 dom 𝑂) = 𝑋)
107106eleq2d 2686 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂) ↔ 𝑋𝑋))
108107notbid 308 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → (¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂) ↔ ¬ 𝑋𝑋))
109105, 108syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋} → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
110 eldifi 3730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘𝐵)
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘𝐵)
1127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌𝐴)
113 fvex 6199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑘) ∈ V
114 ifexg 4155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌𝐴 ∧ (𝐺𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
115112, 113, 114sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
116 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋𝑘 = 𝑋))
117 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑘 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑘))
118116, 117ifbieq2d 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
119118, 9fvmptg 6278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝐵 ∧ if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
120111, 115, 119syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
121 eldifn 3731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
122121adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
123 velsn 4191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
124 elun2 3779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
125123, 124sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑋𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
126122, 125nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
127126iffalsed 4095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
128 ssun1 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
129 sscon 3742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
130128, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
131130sseli 3597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
132 ssid 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅)
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
13427, 133, 3, 13suppssr 7323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺𝑘) = ∅)
135131, 134sylan2 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺𝑘) = ∅)
136120, 127, 1353eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹𝑘) = ∅)
13730, 136suppss 7322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
138137, 91sseldd 3602 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
139 elun 3751 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 dom 𝑂) ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ↔ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) ∨ (𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋}))
140138, 139sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) ∈ (𝐺 supp ∅) ∨ (𝑂 dom 𝑂) ∈ {𝑋}))
14199, 109, 140mpjaod 396 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))
142 ioran 511 . . . . . . . 8 (¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)) ↔ (¬ (𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
14384, 141, 142sylanbrc 698 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂)))
144 ordtri3 5757 . . . . . . . 8 ((Ord (𝑂 dom 𝑂) ∧ Ord 𝑋) → ((𝑂 dom 𝑂) = 𝑋 ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))))
14594, 103, 144syl2anc 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂) = 𝑋 ↔ ¬ ((𝑂 dom 𝑂) ∈ 𝑋𝑋 ∈ (𝑂 dom 𝑂))))
146143, 145mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = 𝑋)
147146oveq2d 6663 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑜 (𝑂 dom 𝑂)) = (𝐴𝑜 𝑋))
148146fveq2d 6193 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂)) = (𝐹𝑋))
149148, 45eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂)) = 𝑌)
150147, 149oveq12d 6665 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑜 (𝑂 dom 𝑂)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) = ((𝐴𝑜 𝑋) ·𝑜 𝑌))
151 nnord 7070 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
15220, 151syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
153 sssucid 5800 . . . . . . . . . 10 dom 𝑂 ⊆ suc dom 𝑂
154153, 14syl5sseqr 3652 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑂 ⊆ dom 𝑂)
155 f1ofo 6142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅))
15639, 155syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅))
157 foima 6118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅) → (𝑂 “ dom 𝑂) = (𝐹 supp ∅))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ dom 𝑂) = (𝐹 supp ∅))
159 ffn 6043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂:dom 𝑂⟶(𝐹 supp ∅) → 𝑂 Fn dom 𝑂)
16089, 159ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 Fn dom 𝑂
161 fnsnfv 6256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂 Fn dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂) → {(𝑂 dom 𝑂)} = (𝑂 “ { dom 𝑂}))
162160, 72, 161sylancr 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {(𝑂 dom 𝑂)} = (𝑂 “ { dom 𝑂}))
163146sneqd 4187 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {(𝑂 dom 𝑂)} = {𝑋})
164162, 163eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ { dom 𝑂}) = {𝑋})
165158, 164difeq12d 3727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})) = ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
166 ordirr 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ord dom 𝑂 → ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
167152, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
168 disjsn 4244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑂 dom 𝑂)
169167, 168sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅)
170 disj3 4019 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( dom 𝑂 ∩ { dom 𝑂}) = ∅ ↔ dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
171169, 170sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
172 difun2 4046 . . . . . . . . . . . . . 14 (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}) = ( dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})
173171, 172syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 dom 𝑂 = (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}))
174 df-suc 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15 suc dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂})
17514, 174syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑂 = ( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}))
176175difeq1d 3725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}) = (( dom 𝑂 ∪ { dom 𝑂}) ∖ { dom 𝑂}))
177173, 176eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 dom 𝑂 = (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂}))
178177imaeq2d 5464 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})))
179 dff1o3 6141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ↔ (𝑂:dom 𝑂onto→(𝐹 supp ∅) ∧ Fun 𝑂))
180179simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂:dom 𝑂1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → Fun 𝑂)
181 imadif 5971 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑂 → (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
18239, 180, 1813syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂 “ (dom 𝑂 ∖ { dom 𝑂})) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
183178, 182eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = ((𝑂 “ dom 𝑂) ∖ (𝑂 “ { dom 𝑂})))
1848, 105ssneldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
185 disjsn 4244 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
186184, 185sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅)
187 fvex 6199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺𝑋) ∈ V
188 dif1o 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜) ↔ ((𝐺𝑋) ∈ V ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅))
189187, 188mpbiran 953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜) ↔ (𝐺𝑋) ≠ ∅)
190 ffn 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺:𝐵𝐴𝐺 Fn 𝐵)
19127, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
192 elsuppfn 7300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
193191, 3, 55, 192syl3anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅)))
194189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜) ↔ (𝐺𝑋) ≠ ∅))
195194bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ≠ ∅ ↔ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜)))
196195anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ≠ ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜))))
197193, 196bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜))))
1988sseld 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) → 𝑋𝑋))
199197, 198sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜)) → 𝑋𝑋))
2006, 199mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ∈ (V ∖ 1𝑜) → 𝑋𝑋))
201189, 200syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺𝑋) ≠ ∅ → 𝑋𝑋))
202201necon1bd 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑋 → (𝐺𝑋) = ∅))
203105, 202mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ∅)
204203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐺𝑋) = ∅)
205 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑋 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑋))
206205eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑋 → ((𝐺𝑘) = ∅ ↔ (𝐺𝑋) = ∅))
207204, 206syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝑘 = 𝑋 → (𝐺𝑘) = ∅))
208 eldifi 3730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅)) → 𝑘𝐵)
209208adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → 𝑘𝐵)
2107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → 𝑌𝐴)
211210, 113, 114sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) ∈ V)
212209, 211, 119syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)))
213 ssid 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅)
214213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅))
21530, 214, 3, 13suppssr 7323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐹𝑘) = ∅)
216212, 215eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = ∅)
217 iffalse 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 = 𝑋 → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
218217eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 = 𝑋 → (if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑘)) = ∅ ↔ (𝐺𝑘) = ∅))
219216, 218syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (¬ 𝑘 = 𝑋 → (𝐺𝑘) = ∅))
220207, 219pm2.61d 170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐹 supp ∅))) → (𝐺𝑘) = ∅)
22127, 220suppss 7322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅))
222 reldisj 4018 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐹 supp ∅) → (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋})))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐺 supp ∅) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋})))
224186, 223mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
225 uncom 3755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅))
226137, 225syl6sseq 3649 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅)))
227 ssundif 4050 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 supp ∅) ⊆ ({𝑋} ∪ (𝐺 supp ∅)) ↔ ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}) ⊆ (𝐺 supp ∅))
228226, 227sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}) ⊆ (𝐺 supp ∅))
229224, 228eqssd 3618 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) = ((𝐹 supp ∅) ∖ {𝑋}))
230165, 183, 2293eqtr4rd 2666 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) = (𝑂 dom 𝑂))
231 isores3 6582 . . . . . . . . 9 ((𝑂 Isom E , E (dom 𝑂, (𝐹 supp ∅)) ∧ dom 𝑂 ⊆ dom 𝑂 ∧ (𝐺 supp ∅) = (𝑂 dom 𝑂)) → (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅)))
23237, 154, 230, 231syl3anc 1325 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅)))
233 cantnfp1.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = OrdIso( E , (𝐺 supp ∅))
2341, 2, 3, 233, 5cantnfcl 8561 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐺 supp ∅) ∧ dom 𝐾 ∈ ω))
235234simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐺 supp ∅))
236 epse 5095 . . . . . . . . 9 E Se (𝐺 supp ∅)
237233oieu 8441 . . . . . . . . 9 (( E We (𝐺 supp ∅) ∧ E Se (𝐺 supp ∅)) → ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅))) ↔ ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)))
238235, 236, 237sylancl 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Ord dom 𝑂 ∧ (𝑂 dom 𝑂) Isom E , E ( dom 𝑂, (𝐺 supp ∅))) ↔ ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)))
239152, 232, 238mpbi2and 956 . . . . . . 7 (𝜑 → ( dom 𝑂 = dom 𝐾 ∧ (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾))
240239simpld 475 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝑂 = dom 𝐾)
241240fveq2d 6193 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 dom 𝑂) = (𝑀‘dom 𝐾))
242 eleq1 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ dom 𝑂 ↔ ∅ ∈ dom 𝑂))
243 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
244 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀‘∅))
245 cantnfp1.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝐾𝑘)) ·𝑜 (𝐺‘(𝐾𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
246245seqom0g 7548 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ V → (𝑀‘∅) = ∅)
24754, 246ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀‘∅) = ∅
248244, 247syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = ∅)
249243, 248eqeq12d 2636 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻‘∅) = ∅))
250242, 249imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅)))
251250imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅))))
252 eleq1 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑂𝑦 ∈ dom 𝑂))
253 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
254 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑦))
255253, 254eqeq12d 2636 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)))
256252, 255imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))))
257256imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)))))
258 eleq1 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂))
259 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
260 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀‘suc 𝑦))
261259, 260eqeq12d 2636 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))
262258, 261imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
263262imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))))
264 eleq1 2688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 dom 𝑂 ∈ dom 𝑂))
265 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝐻 dom 𝑂))
266 fveq2 6189 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = dom 𝑂 → (𝑀𝑥) = (𝑀 dom 𝑂))
267265, 266eqeq12d 2636 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝐻𝑥) = (𝑀𝑥) ↔ (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))
268264, 267imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥)) ↔ ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))))
269268imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝑂 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑥) = (𝑀𝑥))) ↔ (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))))
27011seqom0g 7548 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ V → (𝐻‘∅) = ∅)
27154, 270mp1i 13 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅)
272271a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∅ ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘∅) = ∅))
273 nnord 7070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
27417, 273syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Ord dom 𝑂)
275 ordtr 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord dom 𝑂 → Tr dom 𝑂)
276274, 275syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Tr dom 𝑂)
277 trsuc 5808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Tr dom 𝑂 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝑂)
278276, 277sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝑂)
279278ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂𝑦 ∈ dom 𝑂))
280279imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))))
281 oveq2 6655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)) = (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝑀𝑦)))
282 elnn 7072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ dom 𝑂 ∧ dom 𝑂 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
283282ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom 𝑂 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ ω)
28417, 283sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ ω)
285278, 284syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ ω)
2861, 2, 3, 4, 10, 11cantnfsuc 8564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
287285, 286syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
2881, 2, 3, 233, 5, 245cantnfsuc 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐾𝑦)) ·𝑜 (𝐺‘(𝐾𝑦))) +𝑜 (𝑀𝑦)))
289285, 288syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐾𝑦)) ·𝑜 (𝐺‘(𝐾𝑦))) +𝑜 (𝑀𝑦)))
290239simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑂 dom 𝑂) = 𝐾)
291290fveq1d 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝐾𝑦))
292291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝐾𝑦))
29314eleq2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
294293biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂)
295152adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → Ord dom 𝑂)
296 ordsucelsuc 7019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord dom 𝑂 → (𝑦 dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
297295, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑦 dom 𝑂 ↔ suc 𝑦 ∈ suc dom 𝑂))
298294, 297mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 dom 𝑂)
299 fvres 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 dom 𝑂 → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝑂𝑦))
300298, 299syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂 dom 𝑂)‘𝑦) = (𝑂𝑦))
301292, 300eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) = (𝑂𝑦))
302301oveq2d 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐴𝑜 (𝐾𝑦)) = (𝐴𝑜 (𝑂𝑦)))
303 suppssdm 7305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 supp ∅) ⊆ dom 𝐺
304 fdm 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐺:𝐵𝐴 → dom 𝐺 = 𝐵)
30527, 304syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝐵)
306303, 305syl5sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝐵)
307306adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝐵)
308240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → dom 𝑂 = dom 𝐾)
309298, 308eleqtrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑦 ∈ dom 𝐾)
310233oif 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐾:dom 𝐾⟶(𝐺 supp ∅)
311310ffvelrni 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅))
312309, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅))
313307, 312sseldd 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐾𝑦) ∈ 𝐵)
3147adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → 𝑌𝐴)
315 fvex 6199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺‘(𝐾𝑦)) ∈ V
316 ifexg 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑌𝐴 ∧ (𝐺‘(𝐾𝑦)) ∈ V) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) ∈ V)
317314, 315, 316sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) ∈ V)
318 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = (𝐾𝑦) → (𝑡 = 𝑋 ↔ (𝐾𝑦) = 𝑋))
319 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = (𝐾𝑦) → (𝐺𝑡) = (𝐺‘(𝐾𝑦)))
320318, 319ifbieq2d 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = (𝐾𝑦) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))))
321320, 9fvmptg 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾𝑦) ∈ 𝐵 ∧ if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) ∈ V) → (𝐹‘(𝐾𝑦)) = if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))))
322313, 317, 321syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘(𝐾𝑦)) = if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))))
323301fveq2d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘(𝐾𝑦)) = (𝐹‘(𝑂𝑦)))
324184adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
325 nelneq 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾𝑦) ∈ (𝐺 supp ∅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅)) → ¬ (𝐾𝑦) = 𝑋)
326312, 324, 325syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ¬ (𝐾𝑦) = 𝑋)
327326iffalsed 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → if((𝐾𝑦) = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘(𝐾𝑦))) = (𝐺‘(𝐾𝑦)))
328322, 323, 3273eqtr3rd 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝐺‘(𝐾𝑦)) = (𝐹‘(𝑂𝑦)))
329302, 328oveq12d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐴𝑜 (𝐾𝑦)) ·𝑜 (𝐺‘(𝐾𝑦))) = ((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))))
330329oveq1d 6662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (((𝐴𝑜 (𝐾𝑦)) ·𝑜 (𝐺‘(𝐾𝑦))) +𝑜 (𝑀𝑦)) = (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝑀𝑦)))
331289, 330eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → (𝑀‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝑀𝑦)))
332287, 331eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦) ↔ (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)) = (((𝐴𝑜 (𝑂𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂𝑦))) +𝑜 (𝑀𝑦))))
333281, 332syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ suc 𝑦 ∈ dom 𝑂) → ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))
334333ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → ((𝐻𝑦) = (𝑀𝑦) → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
335334a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
336280, 335syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦)) → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
337336a2i 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))) → (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦))))
338337a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻𝑦) = (𝑀𝑦))) → (𝜑 → (suc 𝑦 ∈ dom 𝑂 → (𝐻‘suc 𝑦) = (𝑀‘suc 𝑦)))))
339251, 257, 263, 269, 272, 338finds 7089 . . . . . . 7 ( dom 𝑂 ∈ ω → (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))))
34020, 339mpcom 38 . . . . . 6 (𝜑 → ( dom 𝑂 ∈ dom 𝑂 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂)))
34172, 340mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 dom 𝑂) = (𝑀 dom 𝑂))
3421, 2, 3, 233, 5, 245cantnfval 8562 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺) = (𝑀‘dom 𝐾))
343241, 341, 3423eqtr4d 2665 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 dom 𝑂) = ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺))
344150, 343oveq12d 6665 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑜 (𝑂 dom 𝑂)) ·𝑜 (𝐹‘(𝑂 dom 𝑂))) +𝑜 (𝐻 dom 𝑂)) = (((𝐴𝑜 𝑋) ·𝑜 𝑌) +𝑜 ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
34522, 344eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (𝐻‘suc dom 𝑂) = (((𝐴𝑜 𝑋) ·𝑜 𝑌) +𝑜 ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
34612, 15, 3453eqtrd 2659 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (((𝐴𝑜 𝑋) ·𝑜 𝑌) +𝑜 ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  Vcvv 3198  cdif 3569  cun 3570  cin 3571  wss 3572  c0 3913  ifcif 4084  {csn 4175   cuni 4434   class class class wbr 4651  cmpt 4727  Tr wtr 4750   E cep 5026   Se wse 5069   We wwe 5070  ccnv 5111  dom cdm 5112  cres 5114  cima 5115  Ord word 5720  Oncon0 5721  suc csuc 5723  Fun wfun 5880   Fn wfn 5881  wf 5882  ontowfo 5884  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886   Isom wiso 5887  (class class class)co 6647  cmpt2 6649  ωcom 7062   supp csupp 7292  seq𝜔cseqom 7539  1𝑜c1o 7550   +𝑜 coa 7554   ·𝑜 comu 7555  𝑜 coe 7556   finSupp cfsupp 8272  OrdIsocoi 8411   CNF ccnf 8555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-seqom 7540  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-oi 8412  df-cnf 8556
This theorem is referenced by:  cantnfp1  8575
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