MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfp1lem2 8614
Description: Lemma for cantnfp1 8616. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g (𝜑𝐺𝑆)
cantnfp1.x (𝜑𝑋𝐵)
cantnfp1.y (𝜑𝑌𝐴)
cantnfp1.s (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
cantnfp1.e (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
2 cantnfp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐴)
3 iftrue 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) = 𝑌)
4 cantnfp1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑡𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)))
53, 4fvmptg 6319 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐴) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
61, 2, 5syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7 cantnfp1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
8 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 onelon 5786 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ On)
108, 2, 9syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ On)
11 on0eln0 5818 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌𝑌 ≠ ∅))
137, 12mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
146, 13eqnetrd 2890 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
152adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → 𝑌𝐴)
16 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝑆)
17 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
18 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ On)
1917, 8, 18cantnfs 8601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
2016, 19mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
2120simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
2221ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝐵) → (𝐺𝑡) ∈ 𝐴)
2315, 22ifcld 4164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺𝑡)) ∈ 𝐴)
2423, 4fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
25 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐵𝐴𝐹 Fn 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
27 0ex 4823 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ V)
29 elsuppfn 7348 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
3026, 18, 28, 29syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)))
311, 14, 30mpbir2and 977 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
32 n0i 3953 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
3331, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34 suppssdm 7353 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
354, 23dmmptd 6062 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
3634, 35syl5sseq 3686 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
3718, 36ssexd 4838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
38 cantnfp1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
39 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
4017, 8, 18, 16, 1, 2, 39, 4cantnfp1lem1 8613 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
4117, 8, 18, 38, 40cantnfcl 8602 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
4241simpld 474 . . . . . . 7 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
4338oien 8484 . . . . . . 7 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
4437, 42, 43syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
45 breq1 4688 . . . . . . 7 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
46 ensymb 8045 . . . . . . . 8 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
47 en0 8060 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4846, 47bitri 264 . . . . . . 7 (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
4945, 48syl6bb 276 . . . . . 6 (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
5044, 49syl5ibcom 235 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
5133, 50mtod 189 . . . 4 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
5241simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
53 nnlim 7120 . . . . 5 (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
5452, 53syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
55 ioran 510 . . . 4 (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
5651, 54, 55sylanbrc 699 . . 3 (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
57 nnord 7115 . . . 4 (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
58 unizlim 5882 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
5952, 57, 583syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
6056, 59mtbird 314 . 2 (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = dom 𝑂)
61 orduniorsuc 7072 . . . 4 (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6252, 57, 613syl 18 . . 3 (𝜑 → (dom 𝑂 = dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6362ord 391 . 2 (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂))
6460, 63mpd 15 1 (𝜑 → dom 𝑂 = suc dom 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762   E cep 5057   We wwe 5101  dom cdm 5143  Ord word 5760  Oncon0 5761  Lim wlim 5762  suc csuc 5763   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107   supp csupp 7340  cen 7994   finSupp cfsupp 8316  OrdIsocoi 8455   CNF ccnf 8596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-cnf 8597
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8615
  Copyright terms: Public domain W3C validator