MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnflt2 8608
Description: An upper bound on the CNF function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 29-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnflt2.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnflt2.a (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
cantnflt2.c (𝜑𝐶 ∈ On)
cantnflt2.s (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
cantnflt2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴𝑜 𝐶))

Proof of Theorem cantnflt2
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnfs.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2651 . . 3 OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
5 cantnflt2.f . . 3 (𝜑𝐹𝑆)
6 eqid 2651 . . 3 seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅) = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 8603 . 2 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))))
8 cantnflt2.a . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
9 cantnflt2.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ On)
10 cantnflt2.s . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐶)
119, 10ssexd 4838 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
124oion 8482 . . . 4 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On)
13 sucidg 5841 . . . 4 (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ On → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ suc dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)))
151, 2, 3, 4, 5cantnfcl 8602 . . . . . . 7 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) ∈ ω))
1615simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
174oiiso 8483 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
1811, 16, 17syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)))
19 isof1o 6613 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) Isom E , E (dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)), (𝐹 supp ∅)) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
20 f1ofo 6182 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅))
21 foima 6158 . . . . 5 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)):dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))–onto→(𝐹 supp ∅) → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
2218, 19, 20, 214syl 19 . . . 4 (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) = (𝐹 supp ∅))
2322, 10eqsstrd 3672 . . 3 (𝜑 → (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅)) “ dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ⊆ 𝐶)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 9, 23cantnflt 8607 . 2 (𝜑 → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))) ∈ (𝐴𝑜 𝐶))
257, 24eqeltrd 2730 1 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ∈ (𝐴𝑜 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   E cep 5057   We wwe 5101  dom cdm 5143  cima 5146  Oncon0 5761  suc csuc 5763  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  ωcom 7107   supp csupp 7340  seq𝜔cseqom 7587   +𝑜 coa 7602   ·𝑜 comu 7603  𝑜 coe 7604  OrdIsocoi 8455   CNF ccnf 8596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-oexp 7611  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-cnf 8597
This theorem is referenced by:  cantnff  8609  cantnflem1d  8623  cnfcom3lem  8638
  Copyright terms: Public domain W3C validator