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Theorem cantnfle 8606
Description: A lower bound on the CNF function. Since ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) is defined as the sum of (𝐴𝑜 𝑥) ·𝑜 (𝐹𝑥) over all 𝑥 in the support of 𝐹, it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all 𝐶𝐵 instead of just those 𝐶 in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
cantnfval.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
cantnfle.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
cantnfle (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝑧,𝐶   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝐹,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . 3 ((𝐹𝐶) = ∅ → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) = ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅))
21sseq1d 3665 . 2 ((𝐹𝐶) = ∅ → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)))
3 cantnfs.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 suppssdm 7353 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
5 cantnfcl.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝑆)
6 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
7 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ On)
86, 7, 3cantnfs 8601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
95, 8mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
109simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
11 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐵𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
134, 12syl5sseq 3686 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
143, 13ssexd 4838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
15 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
166, 7, 3, 15, 5cantnfcl 8602 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
1716simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
1815oiiso 8483 . . . . . . . . 9 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
1914, 17, 18syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
20 isof1o 6613 . . . . . . . 8 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
23 f1ocnv 6187 . . . . . 6 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
24 f1of 6175 . . . . . 6 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
2522, 23, 243syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
26 cantnfle.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
2726anim1i 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅))
2810adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹:𝐵𝐴)
29 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵𝐴𝐹 Fn 𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐹 Fn 𝐵)
313adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
32 0ex 4823 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ∅ ∈ V)
34 elsuppfn 7348 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3530, 31, 33, 34syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅)))
3627, 35mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅))
3725, 36ffvelrnd 6400 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺)
3816simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3938adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → dom 𝐺 ∈ ω)
40 eqimss 3690 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = dom 𝐺𝑥 ⊆ dom 𝐺)
4140biantrurd 528 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥)))
42 eleq2 2719 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
4341, 42bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺))
44 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = dom 𝐺 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘dom 𝐺))
4544sseq2d 3666 . . . . . . . 8 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
4643, 45imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
4746imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = dom 𝐺 → (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))))
48 sseq1 3659 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ ∅ ⊆ dom 𝐺))
49 eleq2 2719 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ ∅))
5048, 49anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅)))
51 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻‘∅))
5251sseq2d 3666 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
5350, 52imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))))
54 sseq1 3659 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺))
55 eleq2 2719 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦))
5654, 55anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)))
57 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
5857sseq2d 3666 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
5956, 58imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦))))
60 sseq1 3659 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ⊆ dom 𝐺 ↔ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺))
61 eleq2 2719 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑥 ↔ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦))
6260, 61anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) ↔ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦)))
63 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻‘suc 𝑦))
6463sseq2d 3666 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥) ↔ ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
6562, 64imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥)) ↔ ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
66 noel 3952 . . . . . . . . . 10 ¬ (𝐺𝐶) ∈ ∅
6766pm2.21i 116 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝐶) ∈ ∅ → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6867adantl 481 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅))
6968a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((∅ ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘∅)))
70 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐶) ∈ V
7170elsuc 5832 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 ↔ ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦))
72 sssucid 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ⊆ suc 𝑦
73 sstr 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ⊆ suc 𝑦 ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7472, 73mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺𝑦 ⊆ dom 𝐺)
7574ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
76 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)
77 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
7875, 76, 77syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)))
79 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
8079cantnfvalf 8600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻:ω⟶On
8180ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ω → (𝐻𝑦) ∈ On)
8281ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ∈ On)
837ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐴 ∈ On)
843ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐵 ∈ On)
8513ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
86 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺)
87 sucidg 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8887ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
8986, 88sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ dom 𝐺)
9015oif 8476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
9190ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ (𝐹 supp ∅))
9385, 92sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐵)
94 onelon 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐵 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ On)
9584, 93, 94syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑦) ∈ On)
96 oecl 7662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑦) ∈ On) → (𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ∈ On)
9783, 95, 96syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ∈ On)
9810ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝐹:𝐵𝐴)
9998, 93ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴)
100 onelon 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
10183, 99, 100syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On)
102 omcl 7661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ∈ On ∧ (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ On) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
10397, 101, 102syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On)
104 oaword2 7678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐻𝑦) ∈ On ∧ ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
10582, 103, 104syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
106 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝜑)
107 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → 𝑦 ∈ ω)
1086, 7, 3, 15, 5, 79cantnfsuc 8605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
109106, 107, 108syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
110105, 109sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
111 sstr 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) ∧ (𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
112111expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑦) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦) → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
113110, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
114113adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
11578, 114syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦)) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
116115expr 642 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
117 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝐶) = 𝑦)
118117fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = (𝐺𝑦))
119 f1ocnvfv2 6573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝐶 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
12022, 36, 119syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
121120ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺‘(𝐺𝐶)) = 𝐶)
122118, 121eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐺𝑦) = 𝐶)
123122oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) = (𝐴𝑜 𝐶))
124122fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) = (𝐹𝐶))
125123, 124oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) = ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)))
126 oaword1 7677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ On ∧ (𝐻𝑦) ∈ On) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
127103, 82, 126syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
128127adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
129125, 128eqsstr3d 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
130109adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → (𝐻‘suc 𝑦) = (((𝐴𝑜 (𝐺𝑦)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑦))) +𝑜 (𝐻𝑦)))
131129, 130sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ (suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) = 𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))
132131expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))
133132a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) = 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
134116, 133jaod 394 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → (((𝐺𝐶) ∈ 𝑦 ∨ (𝐺𝐶) = 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
13571, 134syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) ∧ suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺) → ((𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦 → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
136135expimpd 628 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
137136com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦))))
138137expcom 450 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → (((𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑦)) → ((suc 𝑦 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ suc 𝑦) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘suc 𝑦)))))
13953, 59, 65, 69, 138finds2 7136 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝑥 ⊆ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝐶) ∈ 𝑥) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻𝑥))))
14047, 139vtoclga 3303 . . . . 5 (dom 𝐺 ∈ ω → ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))))
14139, 140mpcom 38 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐺𝐶) ∈ dom 𝐺 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺)))
14237, 141mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ (𝐻‘dom 𝐺))
1436, 7, 3, 15, 5, 79cantnfval 8603 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
144143adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹) = (𝐻‘dom 𝐺))
145142, 144sseqtr4d 3675 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) ≠ ∅) → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
146 onelon 5786 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ On)
1473, 26, 146syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ On)
148 oecl 7662 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴𝑜 𝐶) ∈ On)
1497, 147, 148syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑜 𝐶) ∈ On)
150 om0 7642 . . . 4 ((𝐴𝑜 𝐶) ∈ On → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) = ∅)
151149, 150syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) = ∅)
152 0ss 4005 . . 3 ∅ ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹)
153151, 152syl6eqss 3688 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 ∅) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
1542, 145, 153pm2.61ne 2908 1 (𝜑 → ((𝐴𝑜 𝐶) ·𝑜 (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   E cep 5057   We wwe 5101  ccnv 5142  dom cdm 5143  Oncon0 5761  suc csuc 5763   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  ωcom 7107   supp csupp 7340  seq𝜔cseqom 7587   +𝑜 coa 7602   ·𝑜 comu 7603  𝑜 coe 7604   finSupp cfsupp 8316  OrdIsocoi 8455   CNF ccnf 8596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-oexp 7611  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-cnf 8597
This theorem is referenced by:  cantnflem3  8626
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