MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfcl 8737
Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
cantnfcl (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl
StepHypRef Expression
1 suppssdm 7476 . . . . 5 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2 cantnfcl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑆)
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4 cantnfs.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ On)
5 cantnfs.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ On)
63, 4, 5cantnfs 8736 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
72, 6mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
87simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
9 fdm 6212 . . . . . 6 (𝐹:𝐵𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
111, 10syl5sseq 3794 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
12 onss 7155 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
135, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ On)
1411, 13sstrd 3754 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
15 epweon 7148 . . 3 E We On
16 wess 5253 . . 3 ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . 2 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
18 ovexd 6843 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
19 cantnfcl.g . . . . . 6 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2019oion 8606 . . . . 5 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2118, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
227simprd 482 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
2322fsuppimpd 8447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
2419oien 8608 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2518, 17, 24syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
26 enfii 8342 . . . . 5 (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
2723, 25, 26syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
2821, 27elind 3941 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
29 onfin2 8317 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
3028, 29syl6eleqr 2850 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3117, 30jca 555 1 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804   E cep 5178   We wwe 5224  dom cdm 5266  Oncon0 5884  wf 6045  (class class class)co 6813  ωcom 7230   supp csupp 7463  cen 8118  Fincfn 8121   finSupp cfsupp 8440  OrdIsocoi 8579   CNF ccnf 8731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seqom 7712  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-cnf 8732
This theorem is referenced by:  cantnfval2  8739  cantnfle  8741  cantnflt  8742  cantnflt2  8743  cantnff  8744  cantnfp1lem2  8749  cantnfp1lem3  8750  cantnflem1b  8756  cantnflem1d  8758  cantnflem1  8759  cnfcomlem  8769  cnfcom  8770  cnfcom2lem  8771  cnfcom3lem  8773
  Copyright terms: Public domain W3C validator