MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1lem1 9512
Description: Lemma for canthp1 9514. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1lem1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 8200 . . 3 1𝑜 ≺ 2𝑜
2 cdaxpdom 9049 . . 3 ((1𝑜𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
31, 2mpan2 707 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
4 sdom0 8133 . . . . . 6 ¬ 1𝑜 ≺ ∅
5 breq2 4689 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (1𝑜𝐴 ↔ 1𝑜 ≺ ∅))
64, 5mtbiri 316 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 1𝑜𝐴)
76con2i 134 . . . 4 (1𝑜𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 neq0 3963 . . . 4 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
97, 8sylib 208 . . 3 (1𝑜𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
10 relsdom 8004 . . . . . . . . . 10 Rel ≺
1110brrelex2i 5193 . . . . . . . . 9 (1𝑜𝐴𝐴 ∈ V)
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 enrefg 8029 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
15 df2o2 7619 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, {∅}}
16 pwpw0 4376 . . . . . . . . 9 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1715, 16eqtr4i 2676 . . . . . . . 8 2𝑜 = 𝒫 {∅}
18 0ex 4823 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
19 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
20 en2sn 8078 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
2118, 19, 20mp2an 708 . . . . . . . . 9 {∅} ≈ {𝑥}
22 pwen 8174 . . . . . . . . 9 ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
2417, 23eqbrtri 4706 . . . . . . 7 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}
25 xpen 8164 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴 ∧ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
2614, 24, 25sylancl 695 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27 snex 4938 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2827pwex 4878 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ V
29 uncom 3790 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3130snssd 4372 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32 undif 4082 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3331, 32sylib 208 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3429, 33syl5eq 2697 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35 difexg 4841 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37 canth2g 8155 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38 domunsn 8151 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
4034, 39eqbrtrrd 4709 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
41 xpdom1g 8098 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4228, 40, 41sylancr 696 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43 endomtr 8055 . . . . . 6 (((𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4426, 42, 43syl2anc 694 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45 pwcdaen 9045 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4636, 27, 45sylancl 695 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4746ensymd 8048 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
48 domentr 8056 . . . . 5 (((𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
4944, 47, 48syl2anc 694 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
5027a1i 11 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ V)
51 incom 3838 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥}))
52 disjdif 4073 . . . . . . . . 9 ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
5351, 52eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
5453a1i 11 . . . . . . 7 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
55 cdaun 9032 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5636, 50, 54, 55syl3anc 1366 . . . . . 6 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5756, 34breqtrd 4711 . . . . 5 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴)
58 pwen 8174 . . . . 5 (((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
5957, 58syl 17 . . . 4 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
60 domentr 8056 . . . 4 (((𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
6149, 59, 60syl2anc 694 . . 3 ((1𝑜𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
629, 61exlimddv 1903 . 2 (1𝑜𝐴 → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
63 domtr 8050 . 2 (((𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
643, 62, 63syl2anc 694 1 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685   × cxp 5141  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996   +𝑐 ccda 9027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-cda 9028
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9513  canthp1  9514
  Copyright terms: Public domain W3C validator