Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brsiga 30555
Description: The Borel Algebra on real numbers is a Borel sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
brsiga 𝔅 ∈ (sigaGen “ Top)

Proof of Theorem brsiga
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-brsiga 30554 . 2 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
2 retop 22766 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3 df-sigagen 30511 . . . . 5 sigaGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑠 ∈ (sigAlgebra‘ 𝑥) ∣ 𝑥𝑠})
43funmpt2 6088 . . . 4 Fun sigaGen
5 fvex 6362 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ V
6 sigagensiga 30513 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘ (topGen‘ran (,))))
7 elrnsiga 30498 . . . . . 6 ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘ (topGen‘ran (,))) → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra)
85, 6, 7mp2b 10 . . . . 5 (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra
9 0elsiga 30486 . . . . 5 ((sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ ran sigAlgebra → ∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
10 elfvdm 6381 . . . . 5 (∅ ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) → (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen)
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen
12 funfvima 6655 . . . 4 ((Fun sigaGen ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ dom sigaGen) → ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)))
134, 11, 12mp2an 710 . . 3 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top))
142, 13ax-mp 5 . 2 (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigaGen “ Top)
151, 14eqeltri 2835 1 𝔅 ∈ (sigaGen “ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   cuni 4588   cint 4627  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043  cfv 6049  (,)cioo 12368  topGenctg 16300  Topctop 20900  sigAlgebracsiga 30479  sigaGencsigagen 30510  𝔅cbrsiga 30553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-ioo 12372  df-topgen 16306  df-top 20901  df-bases 20952  df-siga 30480  df-sigagen 30511  df-brsiga 30554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator