Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brric2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brric2 18793
 Description: The relation "is isomorphic to" for (unital) rings. This theorem corresponds to the definition df-risc 33912 of the ring isomorphism relation in JM's mathbox. (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
brric2 (𝑅𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓

Proof of Theorem brric2
StepHypRef Expression
1 brric 18792 . 2 (𝑅𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3964 . 2 ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3 rimrcl 18772 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
4 isrim0 18771 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))))
5 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
75, 6isrhm 18769 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
87simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
104, 9syl6bi 243 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring)))
113, 10mpcom 38 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
1211exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
1312pm4.71ri 666 . 2 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
141, 2, 133bitri 286 1 (𝑅𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ◡ccnv 5142  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   MndHom cmhm 17380   GrpHom cghm 17704  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593   RingHom crh 18760   RingIso crs 18761   ≃𝑟 cric 18762 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mhm 17382  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763  df-rngiso 18764  df-ric 18766 This theorem is referenced by:  ricgic  18794
 Copyright terms: Public domain W3C validator