Theorem brrelex2i 5268

Description: The second argument of a binary relation exists. (An artifact of our ordered pair definition.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brrelexi.1	⊢ Rel 𝑅

Assertion

Ref	Expression
brrelex2i	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem brrelex2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brrelexi.1	. 2 ⊢ Rel 𝑅
2		brrelex2 5266	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	mpan 708	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   class class class wbr 4760  Rel wrel 5223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-br 4761  df-opab 4821  df-xp 5224  df-rel 5225

This theorem is referenced by:  vtoclr  5273  brfvopabrbr  6393  brdomi  8083  domdifsn  8159  undom  8164  xpdom2  8171  xpdom1g  8173  domunsncan  8176  enfixsn  8185  fodomr  8227  pwdom  8228  domssex  8237  xpen  8239  mapdom1  8241  mapdom2  8247  pwen  8249  sucdom2  8272  unxpdom  8283  unxpdom2  8284  sucxpdom  8285  isfinite2  8334  infn0  8338  fin2inf  8339  fsuppimp  8397  suppeqfsuppbi  8405  fsuppsssupp  8407  fsuppunbi  8412  funsnfsupp  8415  mapfien2  8430  wemapso2  8574  card2on  8575  elharval  8584  harword  8586  brwdomi  8589  brwdomn0  8590  domwdom  8595  wdomtr  8596  wdompwdom  8599  canthwdom  8600  brwdom3i  8604  unwdomg  8605  xpwdomg  8606  unxpwdom  8610  infdifsn  8667  infdiffi  8668  isnum2  8884  wdomfil  8997  cdaen  9108  cdaenun  9109  cdadom1  9121  cdaxpdom  9124  cdainf  9127  infcda1  9128  pwcdaidm  9130  cdalepw  9131  infpss  9152  infmap2  9153  fictb  9180  infpssALT  9248  enfin2i  9256  fin34  9325  fodomb  9461  wdomac  9462  iundom2g  9475  iundom  9477  sdomsdomcard  9495  infxpidm  9497  engch  9563  fpwwe2lem3  9568  canthp1lem1  9587  canthp1lem2  9588  canthp1  9589  pwfseq  9599  pwxpndom2  9600  pwxpndom  9601  pwcdandom  9602  hargch  9608  gchaclem  9613  hasheni  13251  hashdomi  13282  brfi1indALT  13395  clim  14345  rlim  14346  ntrivcvgn0  14750  ssc1  16603  ssc2  16604  ssctr  16607  frgpnabl  18399  dprddomprc  18520  dprdval  18523  dprdgrp  18525  dprdf  18526  dprdssv  18536  subgdmdprd  18554  dprd2da  18562  1stcrestlem  21378  hauspwdom  21427  isref  21435  ufilen  21856  dvle  23890  subgrv  26282  locfinref  30138  isfne4  32562  fnetr  32573  topfneec  32577  fnessref  32579  refssfne  32580  phpreu  33625  climf  40274  climf2  40318  linindsv  42661