Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broucube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broucube 33573
 Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
broucube.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
broucube (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐

Proof of Theorem broucube
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 elmapfn 7922 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
54, 2eleq2s 2748 . . . . . . 7 (𝑥𝐼𝑥 Fn (1...𝑁))
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
7 broucube.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
8 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 22614 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 21448 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)))
12 reex 10065 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
13 unitssre 12357 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
14 mapss 7942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)))
1512, 13, 14mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))
162, 15eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))
17 resttopon 21013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
1811, 16, 17mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
1918toponunii 20769 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2019, 19cnf 21098 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)) → 𝐹:𝐼𝐼)
217, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐼𝐼)
2221ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
23 elmapfn 7922 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2423, 2eleq2s 2748 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
26 ovexd 6720 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
27 inidm 3855 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
28 eqidd 2652 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
29 eqidd 2652 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
306, 25, 26, 26, 27, 28, 29offval 6946 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))))
3130mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))))
3218a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
33 ovexd 6720 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
34 retop 22612 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3534fconst6 6133 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top)
3718a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
38 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3938cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
40 cnrest2r 21139 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
4316, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛))
4411toponunii 20769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = 𝑅
4544, 3ptpjcn 21462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
468, 35, 45mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4744cnrest 21137 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4846, 16, 47sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4943, 48syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
50 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
5150fvconst2 6510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
5238tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5453oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5549, 54eleqtrd 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5641, 55sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5756adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5821feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
5958, 7eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
61 fveq1 6228 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑛) = (𝑧𝑛))
6261cbvmptv 4783 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛))
6362, 57syl5eqelr 2735 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
64 fveq1 6228 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
6537, 60, 37, 63, 64cnmpt11 21514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6638subcn 22716 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6837, 57, 65, 67cnmpt12f 21517 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
69 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7069, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7170ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ (0[,]1))
7213, 71sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
7372adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
74 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7574, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7622, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7776ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
7813, 77sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ ℝ)
7973, 78resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8079an32s 863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
81 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))
8280, 81fmptd 6425 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ)
83 frn 6091 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ)
8438cnfldtopon 22633 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
85 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
86 cnrest2 21138 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8784, 85, 86mp3an13 1455 . . . . . . . 8 (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8882, 83, 873syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8968, 88mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
9054adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
9189, 90eleqtrrd 2733 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
923, 32, 33, 36, 91ptcn 21478 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
9331, 92eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
94 simpr2 1088 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → 𝑧𝐼)
95 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
96 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
9795, 96oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)))
98 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))
99 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)) ∈ V
10097, 98, 99fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧) = (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)))
101100fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
10294, 101syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
103 elmapfn 7922 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
104103, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐼𝑧 Fn (1...𝑁))
105104adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
10621ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐼)
107 elmapfn 7922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
108107, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
109106, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
110109adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
111 ovexd 6720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
112 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 0)
113 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
114105, 110, 111, 111, 27, 112, 113ofval 6948 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
115 df-neg 10307 . . . . . . . . 9 -((𝐹𝑧)‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))
116114, 115syl6eqr 2703 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
117116exp41 637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 0 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
118117com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 0 → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
1191183imp2 1304 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
120102, 119eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
121 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
122121, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
123106, 122syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
124123ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
125 0xr 10124 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
126 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127126rexri 10135 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
128 iccgelb 12268 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
129125, 127, 128mp3an12 1454 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
130124, 129syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
13113, 124sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
132131le0neg2d 10638 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
133130, 132mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
134133an32s 863 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
135134anasss 680 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
1361353adantr3 1242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
137120, 136eqbrtrd 4707 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
138 iccleub 12267 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
139125, 127, 138mp3an12 1454 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
140124, 139syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
141 1red 10093 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
142141, 131subge0d 10655 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1))
143140, 142mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
144143an32s 863 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145144anasss 680 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
1461453adantr3 1242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
147 simpr2 1088 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 𝑧𝐼)
148147, 101syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
149104adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
150109adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
151 ovexd 6720 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
152 simpllr 815 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 1)
153 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
154149, 150, 151, 151, 27, 152, 153ofval 6948 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
155154exp41 637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 1 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
156155com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 1 → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
1571563imp2 1304 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
158148, 157eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
159146, 158breqtrrd 4713 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛))
1601, 2, 3, 93, 137, 159poimir 33572 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
161 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐𝑥 = 𝑐)
162 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
163161, 162oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
164 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) ∈ V
165163, 98, 164fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
166165adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
167166eqeq1d 2653 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0})))
168 elmapfn 7922 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
169168, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝐼𝑐 Fn (1...𝑁))
170169adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
17121ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐼)
172 elmapfn 7922 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
173172, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
174171, 173syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
175 ovexd 6720 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
176 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) = (𝑐𝑛))
177 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
178170, 174, 175, 175, 27, 176, 177ofval 6948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
179 c0ex 10072 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
180179fvconst2 6510 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
181180adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
182178, 181eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0))
18313, 85sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
184 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
185184, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐼𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
186185ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ (0[,]1))
187183, 186sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
188187adantll 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
189 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
190189, 2eleq2s 2748 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
191171, 190syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
192191ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
193183, 192sseldi 3634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
194188, 193subeq0ad 10440 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0 ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
195182, 194bitrd 268 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
196195ralbidva 3014 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
197170, 174, 175, 175, 27offn 6950 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁))
198 fnconstg 6131 . . . . . . 7 (0 ∈ V → ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁))
199179, 198ax-mp 5 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)
200 eqfnfv 6351 . . . . . 6 (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
201197, 199, 200sylancl 695 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
202 eqfnfv 6351 . . . . . 6 ((𝑐 Fn (1...𝑁) ∧ (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁)) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
203170, 174, 202syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
204196, 201, 2033bitr4d 300 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
205167, 204bitrd 268 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
206205rexbidva 3078 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐)))
207160, 206mpbid 222 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144   ↾ cres 5145   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ↑𝑚 cmap 7899  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305  ℕcn 11058  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ∏tcpt 16146  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-lp 20988  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-hmph 21607  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-ii 22727 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator