Theorem brgic 17919

Description: The relation "is isomorphic to" for groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brgic	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brgic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gic 17910	. 2 ⊢ ≃𝑔 = (◡ GrpIso “ (V ∖ 1𝑜))
2		gimfn 17911	. 2 ⊢ GrpIso Fn (Grp × Grp)
3	1, 2	brwitnlem 7745	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ≠ wne 2943  ∅c0 4063   class class class wbr 4787   × cxp 5248  (class class class)co 6796  Grpcgrp 17630   GrpIso cgim 17907   ≃_𝑔 cgic 17908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-1o 7717  df-gim 17909  df-gic 17910

This theorem is referenced by:  brgici  17920  giclcl  17922  gicrcl  17923  gicsym  17924  gictr  17925  gicen  17927  gicsubgen  17928  giccyg  18508  gicabl  38195