MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brfi1indlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brfi1indlem 13490
Description: TODO-AV1: no lemma, but self-reliant theorem! Lemma for brfi1ind 13493: The size of a set is the size of this set with one element removed, increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
brfi1indlem ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem brfi1indlem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11545 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2 eleq1a 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
32adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
43imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 hashclb 13361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
65ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
87ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
98ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
1110impcom 445 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12113adant2 1126 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
1312imp 444 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14 snssi 4484 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15143ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
1615adantr 472 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17 hashssdif 13412 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
1813, 16, 17syl2anc 696 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})))
19 oveq1 6821 . . . 4 ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})))
20 hashsng 13371 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (♯‘{𝑁}) = 1)
2120oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22213ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23 nn0cn 11514 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
24 1cnd 10268 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10605 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26253ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
2722, 26eqtrd 2794 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
2819, 27sylan9eqr 2816 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((♯‘𝑉) − (♯‘{𝑁})) = 𝑌)
2918, 28eqtrd 2794 . 2 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
3029ex 449 1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  1c1 10149   + caddc 10151  cmin 10478  0cn0 11504  chash 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332
This theorem is referenced by:  fi1uzind  13491  brfi1indALT  13494  cusgrsize2inds  26580
  Copyright terms: Public domain W3C validator