MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bren Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bren 7949
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 7948 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2 f1ofn 6125 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
3 fndm 5978 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4 vex 3198 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
54dmex 7084 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
63, 5syl6eqelr 2708 . . . . 5 (𝑓 Fn 𝐴𝐴 ∈ V)
72, 6syl 17 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
8 f1ofo 6131 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
9 forn 6105 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
114rnex 7085 . . . . 5 ran 𝑓 ∈ V
1210, 11syl6eqelr 2708 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
137, 12jca 554 . . 3 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1413exlimiv 1856 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15 f1oeq2 6115 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
1615exbidv 1848 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
17 f1oeq3 6116 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
1817exbidv 1848 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
19 df-en 7941 . . 3 ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦}
2016, 18, 19brabg 4984 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
211, 14, 20pm5.21nii 368 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  ran crn 5105   Fn wfn 5871  ontowfo 5874  1-1-ontowf1o 5875  cen 7937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-dm 5114  df-rn 5115  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-en 7941
This theorem is referenced by:  domen  7953  f1oen3g  7956  ener  7987  enerOLD  7988  en0  8004  ensn1  8005  en1  8008  unen  8025  enfixsn  8054  canth2  8098  mapen  8109  ssenen  8119  phplem4  8127  php3  8131  isinf  8158  ssfi  8165  domunfican  8218  fiint  8222  mapfien2  8299  unxpwdom2  8478  isinffi  8803  infxpenc2  8830  fseqen  8835  dfac8b  8839  infpwfien  8870  dfac12r  8953  infmap2  9025  cff1  9065  infpssr  9115  fin4en1  9116  enfin2i  9128  enfin1ai  9191  axcc3  9245  axcclem  9264  numth  9279  ttukey2g  9323  canthnum  9456  canthwe  9458  canthp1  9461  pwfseq  9471  tskuni  9590  gruen  9619  hasheqf1o  13120  hashfacen  13221  fz1f1o  14422  ruc  14953  cnso  14957  eulerth  15469  ablfaclem3  18467  lbslcic  20161  uvcendim  20167  indishmph  21582  ufldom  21747  ovolctb  23239  ovoliunlem3  23253  iunmbl2  23306  dyadmbl  23349  vitali  23363  cusgrfilem3  26334  wlknwwlksnen  26760  padct  29471  f1ocnt  29533  volmeas  30268  eulerpart  30418  derangenlem  31127  mblfinlem1  33417  eldioph2lem1  37142  isnumbasgrplem1  37490  nnf1oxpnn  39200  sprsymrelen  41515  uspgrspren  41525  uspgrbisymrel  41527
  Copyright terms: Public domain W3C validator