Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bren Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bren 8132
 Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 8131 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2 f1ofn 6300 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
3 fndm 6151 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4 vex 3343 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
54dmex 7265 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
63, 5syl6eqelr 2848 . . . . 5 (𝑓 Fn 𝐴𝐴 ∈ V)
72, 6syl 17 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
8 f1ofo 6306 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
9 forn 6280 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
114rnex 7266 . . . . 5 ran 𝑓 ∈ V
1210, 11syl6eqelr 2848 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
137, 12jca 555 . . 3 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1413exlimiv 2007 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15 f1oeq2 6290 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
1615exbidv 1999 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
17 f1oeq3 6291 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
1817exbidv 1999 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
19 df-en 8124 . . 3 ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦}
2016, 18, 19brabg 5144 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
211, 14, 20pm5.21nii 367 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267   Fn wfn 6044  –onto→wfo 6047  –1-1-onto→wf1o 6048   ≈ cen 8120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-dm 5276  df-rn 5277  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-en 8124 This theorem is referenced by:  domen  8136  f1oen3g  8139  ener  8170  en0  8186  ensn1  8187  en1  8190  unen  8207  enfixsn  8236  canth2  8280  mapen  8291  ssenen  8301  phplem4  8309  php3  8313  isinf  8340  ssfi  8347  domunfican  8400  fiint  8404  mapfien2  8481  unxpwdom2  8660  isinffi  9028  infxpenc2  9055  fseqen  9060  dfac8b  9064  infpwfien  9095  dfac12r  9180  infmap2  9252  cff1  9292  infpssr  9342  fin4en1  9343  enfin2i  9355  enfin1ai  9418  axcc3  9472  axcclem  9491  numth  9506  ttukey2g  9550  canthnum  9683  canthwe  9685  canthp1  9688  pwfseq  9698  tskuni  9817  gruen  9846  hasheqf1o  13351  hashfacen  13450  fz1f1o  14660  ruc  15191  cnso  15195  eulerth  15710  ablfaclem3  18706  lbslcic  20402  uvcendim  20408  indishmph  21823  ufldom  21987  ovolctb  23478  ovoliunlem3  23492  iunmbl2  23545  dyadmbl  23588  vitali  23601  cusgrfilem3  26584  wlknwwlksnen  27023  padct  29827  f1ocnt  29889  volmeas  30624  eulerpart  30774  derangenlem  31481  mblfinlem1  33777  eldioph2lem1  37843  isnumbasgrplem1  38191  nnf1oxpnn  39901  sprsymrelen  42278  uspgrspren  42288  uspgrbisymrel  42290
 Copyright terms: Public domain W3C validator