HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bralnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bralnfn 29147
Description: The Dirac bra function is a linear functional. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bralnfn (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)

Proof of Theorem bralnfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brafn 29146 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ)
2 simpll 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℋ)
3 hvmulcl 28210 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
43ad2ant2lr 742 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
5 simprr 756 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → 𝑧 ∈ ℋ)
6 braadd 29144 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 · 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (((bra‘𝐴)‘(𝑥 · 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
8 bramul 29145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
983expa 1111 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
109adantrr 696 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)))
1110oveq1d 6808 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐴)‘(𝑥 · 𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
127, 11eqtrd 2805 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((bra‘𝐴)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
1312ralrimivva 3120 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
1413ralrimiva 3115 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧)))
15 ellnfn 29082 . 2 ((bra‘𝐴) ∈ LinFn ↔ ((bra‘𝐴): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((bra‘𝐴)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((bra‘𝐴)‘𝑦)) + ((bra‘𝐴)‘𝑧))))
161, 14, 15sylanbrc 572 1 (𝐴 ∈ ℋ → (bra‘𝐴) ∈ LinFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136   + caddc 10141   · cmul 10143  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118  LinFnclf 28151  bracbr 28153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hfvmul 28202  ax-hfi 28276  ax-his2 28280  ax-his3 28281
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-lnfn 29047  df-bra 29049
This theorem is referenced by:  rnbra  29306  kbass4  29318
  Copyright terms: Public domain W3C validator