MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem4 25232
Description: Lemma for bpos 25238. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem4 (𝜑𝑀 ∈ (3...𝐾))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 11397 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2 5nn 11400 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
3 bpos.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
4 eluznn 11971 . . . . . . . . 9 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
52, 3, 4sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 nnmulcl 11255 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
87nnred 11247 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
97nnrpd 12083 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
109rpge0d 12089 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
118, 10resqrtcld 14375 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
1211flcld 12813 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13 sqrt9 14233 . . . . . 6 (√‘9) = 3
14 9re 11319 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16 10re 11729 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑10 ∈ ℝ)
18 lep1 11074 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 9 ≤ (9 + 1)
20 9p1e10 11708 . . . . . . . . . 10 (9 + 1) = 10
2119, 20breqtri 4829 . . . . . . . . 9 9 ≤ 10
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ≤ 10)
23 5cn 11312 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
24 2cn 11303 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
25 5t2e10 11846 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
2623, 24, 25mulcomli 10259 . . . . . . . . 9 (2 · 5) = 10
27 eluzle 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
295nnred 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
30 5re 11311 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℝ
31 2re 11302 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
32 2pos 11324 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3331, 32pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34 lemul2 11088 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3530, 33, 34mp3an13 1564 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3629, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3728, 36mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
3826, 37syl5eqbrr 4840 . . . . . . . 8 (𝜑10 ≤ (2 · 𝑁))
3915, 17, 8, 22, 38letrd 10406 . . . . . . 7 (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40 0re 10252 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
41 9pos 11334 . . . . . . . . . 10 0 < 9
4240, 14, 41ltleii 10372 . . . . . . . . 9 0 ≤ 9
4314, 42pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
449rprege0d 12092 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45 sqrtle 14220 . . . . . . . 8 (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
4643, 44, 45sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
4739, 46mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
4813, 47syl5eqbrr 4840 . . . . 5 (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49 3z 11622 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
50 flge 12820 . . . . . 6 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5111, 49, 50sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5248, 51mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
5349eluz1i 11907 . . . 4 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5412, 52, 53sylanbrc 701 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3))
55 3nn 11398 . . . . 5 3 ∈ ℕ
56 nndivre 11268 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
578, 55, 56sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58 3re 11306 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
609sqrtgt0d 14370 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61 lemul2 11088 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
6259, 11, 11, 60, 61syl112anc 1481 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
6348, 62mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64 remsqsqrt 14216 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
658, 10, 64syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
6663, 65breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67 3pos 11326 . . . . . . . 8 0 < 3
6858, 67pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70 lemuldiv 11115 . . . . . 6 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
7111, 8, 69, 70syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
7266, 71mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73 flword2 12828 . . . 4 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
7411, 57, 72, 73syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75 elfzuzb 12549 . . 3 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
7654, 74, 75sylanbrc 701 . 2 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77 bpos.5 . 2 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78 bpos.4 . . 3 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
7978oveq2i 6825 . 2 (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
8076, 77, 793eltr4g 2856 1 (𝜑𝑀 ∈ (3...𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  3c3 11283  5c5 11285  9c9 11289  cz 11589  cdc 11705  cuz 11899  ...cfz 12539  cfl 12805  cexp 13074  Ccbc 13303  csqrt 14192  cprime 15607   pCnt cpc 15763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194
This theorem is referenced by:  bposlem6  25234
  Copyright terms: Public domain W3C validator